Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=30$ m, $BC=40$ m, có hai vị trí $E,\,F$ cố định lần lượt thuộc cạnh $AB$ và $BC$ sao cho $BE=BF=10$ m. Người ta tạo ra một khu đất hình thang $EFGH$ $(EF//GH)$ để trồng hoa, trong đó các điểm $G,\,H$ tương ứng thuộc các cạnh $CD$ và $AD$.

Diện tích lớn nhất của khu đất trồng hoa là bao nhiêu mét vuông?

Trên bàn có $40$ thẻ chia thành $10$ nhóm, mỗi nhóm có $4$ thẻ. Mỗi thẻ của nhóm $1$ được đánh số $1$, mỗi thẻ của nhóm $2$ được đánh số $2$, cứ như vậy mỗi thẻ của nhóm $10$ được đánh số $10$. Mỗi lần, người chơi lấy ra $3$ thẻ trên bàn sao cho tổng các số ghi trên $3$ thẻ bằng $9$ hoặc $19$ rồi bỏ cả $3$ thẻ này ra khỏi bàn. Cuối cùng, trên bàn còn đúng một thẻ. Thẻ còn lại trên bàn được đánh số bao nhiêu? Giải thích tại sao và chỉ ra một cách lấy thẻ thỏa mãn kết quả đưa ra.

Để chủ động nguồn nước ngọt cho sinh hoạt vào mùa hạn mặn, bác Minh thuê thợ xây một bể chứa nước hình hộp chữ nhật có nắp đậy với dung tích $9$ m³ và có đáy bể là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Biết giá thuê thợ để xây bể là $550\,000$ đồng/m². Bác Minh muốn chi phí xây bể là thấp nhất có thể thì cần xây bể với kích thước như thế nào?

Người ta muốn dùng một tấm bạt hình chữ nhật dài 10m, rộng 4m để phủ kín mái và hai mặt trước, sau của một cái lều dài 4m. Biết hai mái lều là các hình chữ nhật bằng nhau và hợp với nhau tạo thành góc vuông (hình vẽ). Tính độ cao h của cột lều để thể tích cái lều lớn nhất(kết quả làm tròn đến xen ti mét).

Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là $8$ dm³ và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là bao nhiêu?

Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $640$ m², để tạo thêm cảnh quan xung quanh đẹp hơn, người ta mở rộng thêm bốn phần diện tích để trồng hoa, tạo thành một đường tròn đi như hình vẽ, biết tâm hình tròn trùng với giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Khi đó chọn kích thước cạnh $ABCD$ như thế nào để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất?

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh là $30$ cm. Trên cạnh $AB$ lấy hai điểm $E$, $G$ sao cho $AE=GB=x$ (cm) và điểm $E$ nằm giữa điểm $A$ và điểm $G$. Qua $E$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $CD$ tại $F$; qua $G$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ cắt $CD$ tại $H$.

Người ta gập hình vuông theo hai cạnh $EF$ và $GH$ sao cho cạnh $AD$ trùng cạnh $BC$ như hình vẽ để tạo thành một hình lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm $x$ để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.

Một mảnh đất hình vuông $ABCD$ cạnh $30$ m. Người ta xây dựng một vườn hoa dạng hình vuông $EFGH$ có các đỉnh $E, F, G, H$ thuộc các cạnh của hình vuông $ABCD$ (hình vẽ). Xác định vị trí điểm $E$ trên cạnh $AB$ để diện tích vườn hoa nhỏ nhất.

Với một tấm tôn hình tròn có bán kính $R = 6$ cm. Người ta muốn làm một cái phễu hình nón bằng cách cắt - ghép một phần (dạng hình quạt) của tấm tôn hình tròn đó (như hình bên dưới). Để thu được chiếc phễu có thể tích lớn nhất thì người ta cần cắt cung tròn của hình quạt có chiều dài là bao nhiêu cen-ti-mét?

Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích $54\pi$ (m³) và giá mỗi mét vuông thép là $500$ nghìn đồng. Chi phí thấp nhất mà cửa hàng phải trả để xây bồn chứa dầu đó là bao nhiêu?