I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Bản chất của bài toán kim đồng hồ chính là bài toán hai chuyển động cùng chiều đuổi nhau trên một đường tròn khép kín.
1) Vận tốc của các kim:
Trong 1 giờ, kim phút đi được đúng 1 vòng đồng hồ, do đó vận tốc kim phút là 1 vòng/giờ.
Trong 1 giờ, kim giờ đi được từ số này sang số liền kề, tương ứng với \(\frac{1}{12}\) vòng đồng hồ, do đó vận tốc kim giờ là \(\frac{1}{12}\) vòng/giờ.
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ luôn luôn là: \(1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\) (vòng/giờ).
Đây là chìa khóa để giải mọi bài toán đồng hồ.
2) Khoảng cách ban đầu:
Mặt đồng hồ được chia thành 12 khoảng bằng nhau ứng với 12 giờ. Tại thời điểm đúng a giờ, kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số a. Lúc này, khoảng cách giữa hai kim theo chiều kim đồng hồ quay là \(\frac{a}{12}\) vòng đồng hồ.
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU
📖 Dạng 1: Hai kim trùng khít lên nhau (Bài toán đuổi kịp)
Phương pháp:
Thời gian để hai kim trùng nhau = Khoảng cách giữa 2 kim : Hiệu vận tốc \(\left(\frac{11}{12}\right)\).
Ví dụ: Bây giờ là 7 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu kim phút lại trùng lên kim giờ?
Bài giải
Lúc 7 giờ, kim giờ cách kim phút một khoảng là \(\frac{7}{12}\) vòng đồng hồ.
Trong 1 giờ, kim phút đi được đúng 1 vòng đồng hồ, do đó vận tốc kim phút là 1 vòng/giờ.
Trong 1 giờ, kim giờ đi được từ số này sang số liền kề, tương ứng với \(\frac{1}{12}\) vòng đồng hồ, do đó vận tốc kim giờ là \(\frac{1}{12}\) vòng/giờ.
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ luôn luôn là: \(1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\) (vòng/giờ).
Thời gian ít nhất để kim phút đuổi kịp và trùng lên kim giờ là:
\(\frac{7}{12}:\frac{11}{12}=\frac{7}{11}\) (giờ)
Đáp số: \(\frac{7}{11}\) giờ.
📖 Dạng 2: Hai kim vuông góc với nhau
Phương pháp:
Hai kim vuông góc khi chúng cách nhau đúng \(\frac14\) vòng đồng hồ.
Có 2 trường hợp xảy ra tùy thuộc vào vị trí ban đầu của kim giờ:
- Trường hợp 1 (Khoảng cách ban đầu nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac14\) vòng):
Thời gian = (Khoảng cách + \(\frac14\)) : \(\frac{11}{12}\).
- Trường hợp 2 (Khoảng cách ban đầu lớn hơn \(\frac14\) vòng):
Thời gian = (Khoảng cách − \(\frac14\)) : \(\frac{11}{12}\).
Ví dụ 1: Bây giờ là 2 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu kim phút lại vuông góc với kim giờ?
Bài giải
Lúc 2 giờ, khoảng cách giữa hai kim là: \(\frac{2}{12}=\frac16\) (vòng đồng hồ).
Vì \(\frac16<\frac14\) nên ta áp dụng Trường hợp 1.
Thời gian ít nhất để hai kim vuông góc là:
\(\left(\frac16+\frac14\right):\frac{11}{12}\) = \(\frac{5}{11}\) (giờ)
Đáp số: \(\frac{5}{11}\) giờ.
Ví dụ 2: Bây giờ là 8 giờ. Hỏi ít nhất sau bao lâu kim phút vuông góc với kim giờ?
Bài giải
Lúc 8 giờ, khoảng cách giữa hai kim là \(\frac{8}{12}=\frac23\) vòng đồng hồ.
Vì \(\frac23>\frac14\) nên ta áp dụng Trường hợp 2.
Thời gian ít nhất để hai kim vuông góc là:
\(\left(\frac23-\frac14\right):\frac{11}{12}\) = \(\frac{5}{11}\) (giờ)
Đáp số: \(\frac{5}{11}\) giờ.
📖 Dạng 3: Hai kim thẳng hàng với nhau (Tạo thành góc bẹt)
Phương pháp:
Hai kim thẳng hàng khi chúng cách nhau đúng \(\frac12\) vòng đồng hồ.
Tương tự dạng 2, ta cũng có 2 trường hợp:
- Trường hợp 1 (Khoảng cách ban đầu nhỏ hơn hoặc bằng \(\frac12\) vòng):
Thời gian = (Khoảng cách + \(\frac12\)) : \(\frac{11}{12}\) .
- Trường hợp 2 (Khoảng cách ban đầu lớn hơn \(\frac12\) vòng):
Thời gian = (Khoảng cách − \(\frac12\)) : \(\frac{11}{12}\).
Ví dụ 1: Bây giờ là 2 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu hai kim tạo thành một đường thẳng?
Bài giải
Lúc 2 giờ, khoảng cách giữa hai kim là \(\frac{2}{12}=\frac16\) vòng đồng hồ.
Vì \(\frac16<\frac14\) nên ta áp dụng Trường hợp 1.
Thời gian ít nhất để hai kim thẳng hàng là:
\(\left(\frac16+\frac12\right):\frac{11}{12}\) = \(\frac{8}{11}\) (giờ)
Đáp số: \(\frac{8}{11}\) giờ.
Ví dụ 2: Bây giờ là 8 giờ. Hỏi sau ít nhất bao lâu kim phút thẳng hàng với kim giờ?
Bài giải
Lúc 8 giờ, khoảng cách giữa hai kim là \(\frac{8}{12}=\frac23\) vòng đồng hồ.
Vì \(\frac23>\frac12\) nên ta áp dụng Trường hợp 2.
Thời gian ít nhất để hai kim thẳng hàng là:
\(\left(\frac16+\frac14\right):\frac{11}{12}\) = \(\frac{2}{11}\) (giờ)
Đáp số: \(\frac{2}{11}\) giờ.
📖 Dạng 4: Thời điểm xuất phát là giờ lẻ (Không phải giờ đúng)
Phương pháp:
Học sinh cần tính khoảng cách thực tế giữa hai kim tại thời điểm lẻ đó bằng cách tính quãng đường mỗi kim đã đi được từ mốc giờ chẵn, sau đó áp dụng công thức của Dạng 1, 2 hoặc 3.
Ví dụ: Bây giờ là 8 giờ 12 phút. Hỏi sau ít nhất bao lâu kim phút và kim giờ nằm trên một đường thẳng?
Bài giải
Lúc 8 giờ đúng, khoảng cách giữa hai kim là \(\frac{8}{12}=\frac23\) vòng đồng hồ.
Trong 12 phút (bằng \(\frac15\) giờ), kim phút đi được:
1 × \(\frac15\) = \(\frac15\) (vòng đồng hồ) = \(\frac{12}{60}\) (vòng đồng hồ)
Trong 12 phút (bằng \(\frac15\) giờ), kim giờ đi được:
\(\frac{1}{12}\) × \(\frac15\) = \(\frac{1}{60}\) (vòng đồng hồ)
Lúc 8 giờ 12 phút, vị trí kim giờ cách mốc số 12 là:
\(\frac{40}{60}+\frac{1}{60}=\frac{41}{60}\) (vòng đồng hồ)
Khoảng cách thực tế giữa kim giờ và kim phút lúc 8 giờ 12 phút là:
\(\frac{41}{60}-\frac{12}{60}=\frac{29}{60}\) (vòng đồng hồ)
Để hai kim thẳng hàng, chúng phải cách nhau \(\frac12\) vòng đồng hồ (tức là \(\frac{30}{60}\) vòng đồng hồ).
Vì \(\frac{29}{60}<\frac12\), ta áp dụng Trường hợp 1 của Dạng thẳng hàng:
Thời gian ít nhất để hai kim thẳng hàng là:
\(\left(\frac{29}{69}+\frac12\right):\frac{11}{12}=\frac{59}{55}\) (giờ)
Đáp số: \(\frac{59}{55}\) giờ.
📖 Dạng 5: Hai kim đổi chỗ cho nhau
Phương pháp:
Trong khoảng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc hai kim đổi vị trí cho nhau, tổng quãng đường kim phút đi được và kim giờ đi được cộng lại bằng đúng 1 vòng đồng hồ.
Tổng vận tốc của hai kim là: \(1+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}\) (vòng/giờ).
Thời gian diễn ra sự việc = 1 (vòng) : Tổng vận tốc.
Ví dụ: Lan bắt đầu làm bài tập lúc hơn 2 giờ. Khi Lan làm xong bài thì thấy kim giờ và kim phút đã đổi chỗ cho nhau (lúc này là hơn 3 giờ). Hỏi Lan làm bài tập hết bao nhiêu thời gian?
Bài giải
Thời gian Lan làm bài tập chính là thời gian để hai kim cùng nhau đi hết tổng cộng 1 vòng đồng hồ.
Tổng vận tốc của kim phút và kim giờ là:
\(1+\frac{1}{12}=\frac{13}{12}\) (vòng/giờ)
Thời gian Lan làm bài tập là:
\(1:\frac{13}{12}=\frac{12}{13}\) (giờ)
Đáp số: \(\frac{12}{13}\) giờ.
