Cho tam giác nhọn $ABC$ ($AB \lt AC$) nội tiếp đường tròn ($O$) và có đường cao $AD$. Vẽ đường thẳng $DE$ vuông góc với $AC$ tại $E$ và đường thẳng $DF$ vuông góc với $AB$ tại $F$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB \lt AC, BC = 2a$ ($a > 0$ cho trước) và $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$. Vẽ đường tròn tâm $O$, đường kính $BC$ cắt $AB, AC$ tại $F$ và $E$. $BE$ cắt $CF$ tại $H$, $AH$ cắt $BC$ tại $D$.

Cho $\Delta ABC$ nhọn có $AB\lt AC$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.

Cho đường tròn $(O;R )$, đường kính $AB$ vuông góc với dây $CD$ tại điểm $I$ ($I$ nằm giữa $A$ và $O$). Lấy điểm $E$ bất kì trên cung nhỏ $BC$ ($E$ khác $B$ và $C$). $AE$ cắt $CD$ tại $K$.

a) Chứng minh bốn điểm $K,\,E,\,B,\,I$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AK.AE=AI.AB$.

c) Gọi $P$ là giao điểm của tia $BE$ và tia $DC$, $Q$ là giao điểm của $AP$ và $BK$. Chứng minh $IK$ là phân giác của $\widehat{EIQ}$. Chứng minh $OQ$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $PQE$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O )$, các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Kẻ đường kính $AQ$ của đường tròn $(O )$ cắt cạnh $BC$ tại $I$.

a) Chứng minh bốn điểm $A$, $F$, $H$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{CAQ}$.

c) Gọi $P$ là giao điểm của $AH$ và $EF$. Chứng minh $\Delta AEP \sim \Delta ABI$ và $PI$ song song với $HQ$.

Cho đường tròn $(O )$ đường kính $AB$. Dây cung $MN$ vuông góc với $AB$, ($AM\lt BM$). Hai đường thẳng $BM$ và $NA$ cắt nhau tại $K$. Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $K$ đến đường thẳng $AB$.

a) Chứng minh tứ giác $AHKM$ nội tiếp trong một đường tròn.

b) Chứng minh rằng $NB.HK=AN.HB$.

c) Chứng minh $HM$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O )$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ (với $AB\lt AC$) có hai đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại điểm $H$.

1) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp đường tròn.

2) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AH$ và $EF$. Chứng minh rằng $IA.IH=IE.IF$.

3) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Đường thẳng đi qua điểm $H$ vuông góc với $AM$, cắt cung nhỏ $CE$ của đường tròn đường kính $BC$ tại điểm $K$.

Chứng minh $AK$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $BC$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, có $AB, \, AC$ và nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Các đường cao $AD, \, BE, \, CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$ .

a) Chứng minh rằng $BFEC$ là tứ giác nội tiếp và $\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$.

b) Trong trường hợp $\widehat{BAC} = 60^\circ$ và $R = 3$ cm, hãy tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ $BC$ của đường tròn $(O; R)$.

c) Gọi $K$ là trực tâm của tam giác $AEF$ và $M$ là giao điểm của $AK$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $HK$ song song với đường thẳng $MD$.

Cho tam giác nhọn $A B C(A B\lt A C)$, đường cao $A H$. Kẻ $H D, H E$ lần lượt vuông góc với $A B, A C(D \in A B, E \in A C)$.

a) Chứng minh $A D H E$ là tứ giác nội tiếp.

b) Trên tia đối của tia $D H$ lấy điểm $F(F \neq D)$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $F B$ cắt đường thẳng $A H$ tại $G$. Kẻ $G I$ vuông góc với $H F(I \in H F)$. Chứng minh tam giác $I F G$ đồng dạng với tam giác $H B G$ và $H F=D H$.

c) Tia phân giác của góc $H E C$ cắt $C H$ tại $K$. Kẻ $K M, K N$ lần lượt vuông góc với $E H$, $E C(M \in E H, N \in E C)$. Hai đoạn thẳng $C M$ và $H N$ cắt nhau tại $T$. Gọi $P$ là giao điểm của $H N$ và $K M, Q$ là giao điểm của $C M$ và $K N$. Chứng minh $E T$ vuông góc với $P Q$.

Cho nửa đường tròn đường kính $A B$. Trên cung $A B$ lấy điềm $C(A C\lt B C, C \neq A)$, trên cung $B C$ lấy điểm $D(D \neq B, D \neq C)$. Kẻ $C H$ vuông góc với $A B$ tại $H$, kè $C K$ vuông góc với $A D$ tại $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $C H$ và $A D, E$ là giao điểm của $C K$ và $D H$.

a) Chứng minh rằng tứ giác $A C K H$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng hai góc $\widehat{H C K}$ và $\widehat{B C D}$ bằng nhau, $I E$ song song với $C D$.