Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $4$ cm. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$; $BM$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ ($M$ là tiếp điểm, $M \ne A$), $BM$ cắt $CD$ tại $K$.

a) Chứng minh bốn điểm $A,\, B,\, M,\, O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OB \perp OK$ và $BM.MK=\dfrac{AB^2}{4}$.

c) Đường thẳng $AM$ cắt $CD$ tại$E$. Chứng minh $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $ED$ và tính chu vi của tứ giác $ABKD$.

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc đường tròn ($M$ khác $A$ và $B$). Tiếp tuyến đi qua $M$ cắt tiếp tuyến đi qua $B$ tại điểm $K$.

a) Chứng minh tứ giác $OMKB$ nội tiếp.

b) Chứng minh $OK \perp MB$.

c) Kẻ một đường thẳng đi qua $K$ cắt đường tròn $(O)$ tại $E$ và $F$ ($E$ nằm giữa $K$ và $F$), $OK$ cắt $BM$ tại $H$. Chứng minh $\widehat{EMK}=\widehat{MFE}$ và $\widehat{OFE}=\widehat{EHK}$.

Cho $(O;2,5$ cm$)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB$ với đường tròn ($B$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính $BC$ của $(O)$. Kẻ $BD\bot AC$ ($D$ khác $A,C$).

a) Chứng minh rằng điểm $D$ thuộc đường tròn $(O)$. Tính độ dài cạnh $AD$ biết cạnh $BD=3$ cm.

b) Từ $C$ vẽ dây $CE$ // $OA$. Biết $BE$ cắt $OA$ tại $H$. Chứng minh rằng $AE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Tia $OA$ cắt $(O)$ tại $F$. Chứng minh rằng $FA.CH=HF.CA$.

Cho nửa đường tròn đường kính $A B$, có tâm là điểm $O$. Đường thẳng đi qua tâm $O$ và vuông góc với đường kính $A B$ cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm $C$. Trên tia đối của tia $C A$ lấy điểm $D$ ( $D$ không trùng với $C$ ), kẻ $C H$ vuông góc với đường thẳng $B D$ tại điểm $H$.

b) Gọi $E$ là giao điểm của hai đường thẳng $H O$ và $B C$. Chứng minh rằng $H O$ là tia phân giác của $\widehat{C H B}$ và $C E . C H=B E . H D$.

Cho $\Delta ABC$ $(AB\lt AC)$ nội tiếp $(O;\,R)$ đường kính $BC$, trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $D$, $BD$ cắt $AC$ tại $E$, từ $E$ vẽ $EF\bot BC$ tại $F$.

a) Chứng minh tứ giác $BAEF$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $DB$ là phân giác góc $ADF$.

c) Gọi $M$ là trung điểm $EC$. Chứng minh $DM.CA=CF.CO$.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn ($AB\lt AC$), nội tiếp đường tròn $(O )$. Tiếp tuyến tại điểm $A$ của đường tròn $(O )$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $S$. Gọi $I$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $O$ đến đường thẳng $BC$.

a) Chứng minh tứ giác $SAOI$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $H$ và $D$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm $A$ đến các đường thẳng $SO$ và $SC$. Chứng minh $\widehat{OAH}=\widehat{IAD}$.

c) Vẽ đường cao $CE$ của tam giác $ABC$. Gọi $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $BE$. Đường thẳng $QD$ cắt đường thẳng $AH$ tại điểm $K$. Chứng minh $BQ.BA=BD.BI$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB\lt AC)$ có đường cao $AD$ và đường phân giác trong $AO$ ($D$, $O$ thuộc cạnh $BC$). Kẻ $OM\bot AB$ tại $M$, $ON\bot AC$ tại $N$.

a) Chứng minh bốn điểm $O$, $D$, $M$, $N$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh: $\widehat{BDM}=\widehat{ODN}$.

c) Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt $MN$ tại $I$, $AI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $K$ là trung điểm của $BC$.

Cho nửa đường tròn đường kính $AB$, có tâm là điểm $O$. Đường thẳng đi qua tâm $O$ và vuông góc với đường kính $AB$ cắt nửa đường tròn đã cho tại điểm $C$. Trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $D$ ($D$ không trùng với $C$), kẻ $CH$ vuông góc với đường thẳng $BD$ tại điểm $H$.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB\lt AC)$ nội tiếp đường tròn tâm $O$. Vẽ đường kính $AD$ của đường tròn $(O)$ và đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.

Cho đường tròn $(O;R)$, dây $AB$ khác đường kính. Kẻ $OH$ vuông góc với $AB$ tại $H$. Đường thẳng $OH$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ở điểm $M$.

a) Chứng minh tứ giác $AMBO$ nội tiếp đường tròn.

b) Kẻ đường kính $AC$ của đường tròn $(O)$, tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(O)$ cắt $MB$ ở $N$. Kẻ $BQ$ vuông góc với $AC$ tại $Q$. Chứng minh $\dfrac{QM}{QM+QN}=\dfrac{BM}{MN}$.