Quay lại giao diện cũ
Bài tập tự luận: Tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC có đường phân giác BN. Từ A kẻ một tia vuông góc với tia BN, cắt BC tại H. Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng bốn điểm A, O, H, C cùng nằm trên một đường tròn.
Hướng dẫn giải
Bài toán có 2 trường hợp
 |
 |
| O và H nằm cùng phía với AC | O và H nằm khác phía với AC |
Bài toán có nhiều lời giải, chứng minh $ \widehat {OCH} = \widehat {OAI}$, $\widehat {BHO} = \widehat {OAC}$, ...
Xem hướng dẫn.
(Một dấu hiệu mới để nhận biết tứ giác nội tiếp)
Hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại M. Trên tia Mx lấy điểm A, trên tia Mx’ lấy điểm C, trên tia My lấy điểm B và F (B nằm giữa M và F), trên tia My’ lấy các điểm D và E (D nằm giữa M và E). Biết rằng MA.MB = MC.MD và MD.ME = MB.MF. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Bốn điểm B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
c) AC // EF.
Hướng dẫn giải
a) b) Đưa các đẳng thức về dạng đẳng thức của các tỉ số và áp dụng để chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.
c) Từ hai phần a và b, ta suy ra \(\widehat{CAM}=\widehat{MFE}\).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm là H. Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A (M khác B, M khác C). Gọi N, P theo thứ tự là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.
a) Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
c) Tìm vị trí của M để độ dài NP lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Chú ý rằng \(\widehat{APC}=\widehat{AMC}=\widehat{ABC}=180^\circ-\widehat{AHC}.\)
b) Chứng minh \(\widehat{AHN}=180^\circ-\widehat{AHP}\). Chú ý rằng \(\widehat{AHP}=\widehat{ACP}=\widehat{ACM}=180^{\circ}-\widehat{ABM}.\)
c) Tam giác ANP cân tại A, \(\widehat{NAP}=2\text{}\widehat{BAC}=2\alpha\) (cố định).
Gọi J là trung điểm của NP thì \(NP=2NJ=2AN.\sin\alpha=2AM.\sin\alpha.\)
Suy ra NP lớn nhất khi AM lớn nhất, khi đó AM là đường kính của đường tròn.
Cho tam giác cân $ABC$ ($AB = AC$, $\widehat{A} < {90}^\circ$), đường cao $BD$. Gọi $M,$ $N,$ $I$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn $BC,$ $BM$ và $BD$. Tia $NI$ cắt cạnh $AC$ ở $K$. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác $ABMD,$ $ABNK$ nội tiếp.
b) $BC^2=\dfrac{4}{3}CA.CK$.
Hướng dẫn giải
a) \(180^\circ-\widehat{BNK}=\widehat{CNK}=\widehat{CMD}=\widehat{BAC}.\)
b) Chú ý rằng: \(\Delta ABC\backsim \Delta NKC.\)
Cho hình thang vuông ABCD (góc A, D vuông). Gọi E là trung điểm của AD. Kẻ AH vuông góc với BE, DI vuông góc với CE, K là giao điểm của AH và DI.
a) Chứng minh BHIC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh EK $\bot$ BC.
Hướng dẫn giải
a) Dựa vào dấu hiệu nhận biết ở bài 2, chứng minh được EH.EB = EI.EC (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
b) Gọi F là giao điểm của Ek và BC.
Cần chứng minh FKIC là tứ giác nội tiếp.
Xem hướng dẫn.
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Trên hai cạnh $AD$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat{MBN}={45}^\circ$. $BM$ và $BN$ cắt $AC$ theo thứ tự tại $E$ và $F$.
a) Chứng minh $BNNC$ và $BFMA$ là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $MEFN$ là tứ giác nội tiếp.
c) Gọi $H$ là giao điểm của $MF$ và $NE$, $I$ là giao điểm của $BH$ và $MN$. Tính độ dài đoạn $BI$ theo a.
Hướng dẫn giải
c) Chứng minh ΔBIM = ΔBAM, từ đó BI = BA = a.