Quay lại giao diện cũ
Bài tập tự luận: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nâng cao)
Tìm các giá trị nguyên của $m$ để giao điểm của các đường thẳng $mx - 2y = 3$ và $3x+my=4$ nằm trong góc vuông phần tư IV.
Hướng dẫn giải
Yêu cầu đề bài tương đương với tìm $m$ để hệ phương trình có nghiệm $x > 0$ và $y < 0$.
\(m\in\mathbb{Z},-\dfrac{8}{3} < m < \dfrac{9}{4}\). Đáp số \(m\in\left\{-2;-1;0;1;2\right\}\).
Tìm giá trị của $m$ để các đường thẳng
\(\left(d_1\right):mx+\left(m-1\right)y=3m+4;\)
\(\left(d_2\right):2mx+\left(m+1\right)y=m-4\)
cắt nhau, song song, trùng nhau.
Hướng dẫn giải
Xét hiệu: $ab' - a'b$
Ta có: $m(m+1) - 2m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m = 0; m=3$.
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $(x+2y)(3x+4y)=96$.
Hướng dẫn giải
Hai số $x+2y$ và $3x + 4y$ có tích là số chẵn và hiệu là số chẵn nên cả hai số đều chẵn.
Chú ý rằng $3x + 4y > x + 2y$ với mọi $x,$ $y$ nguyên dương.
Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=1\quad\left(1\right)\\3x+\left(m+1\right)y=-1\quad\left(2\right)\end{matrix}\right.\).
Tìm tất cả cá giá trị nguyên của $m$ để hệ phương trình có nghiệm là các số nguyên.
Hướng dẫn giải
Rút $y$ từ (1) thế vào (2) ta được $(m-2)(m+3)x=m+3$.
Với $m = 2$, hệ vô nghiệm.
Với $m = -3$, hệ có vô số nghiệm \(\left(x;\dfrac{3x+1}{2}\right)\). Để \(\dfrac{3x+1}{2}\in\mathbb{Z}\) thì $x$ phải là số lẻ. Vậy với $m=-3$ thì hệ phương trình có vô số nghiệm nguyên.
Với $m\ne 2,$ $m\ne -3$, hệ có nghiệm \(\left(\dfrac{1}{m-2};\dfrac{1}{2-m}\right)\). Để các số này là số nguyên thì $m-2$ phải là ước của $1$, hay $m=3$ hoặc $m=1$.
Chứng minh rằng: tam giác tạo bởi ba đường thẳng \(\left(d_1\right):y=3x-2;\left(d_2\right):y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3};\left(d_3\right):y=-2x+8\) là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn giải
Giải các hệ phương trình và tìm giao điểm của các đường thẳng $A(1;1),$ $B(2;4),$ $C(4;0)$, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ.
Công thức tính khoảng cách: \(AB=\sqrt{\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2}.\)
Tính được $AB = AC = \sqrt{10}$; $d_1 \perp d_2$ vì \(3.\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-1\). Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại A.
Viết số 100 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.
Hướng dẫn giải
Giả sử $k$ số tự nhiên liên tiếp $n+1;n+2;...;n+k$ $(n,$ $k$ $\in \mathbb{N},$ $k\ge 2)$ có tổng $S$ bằng $100$.
Ta có:
\(S=\dfrac{\left[\left(n+1\right)+\left(n+k\right)\right].k}{2}=100\Leftrightarrow\left(2n+k+1\right).k=200.\)
Nhận xét: $2n+k+1 > k$; $(2n+k+1) - k=2n+1$ là một số lẻ.
Từ đó ta có các trường hợp:
+) $k=5 \Rightarrow n=17$;
+) $k=8 \Rightarrow n = 8$.
Cho hai $A(3;5),$ $B(-1;-7)$. Tìm điểm $C$ có hoành độ bằng $1$ sao cho ba điểm $A,$ $B,$ $C$ thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Giả sử $C(1;c)$.
Viết phương trình đường thẳng $AB$, tọa độ điểm $C$ phải thỏa mãn phương trình của $AB$. Tìm được $c=-1$.
Giải các hệ phương trình:
a) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6}\\\dfrac{1}{6x}+\dfrac{1}{5y}=\dfrac{3}{20}\end{matrix}\right.;\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}4\left(x+y\right)=5\left(x-y\right)\\\dfrac{40}{x+y}+\dfrac{40}{x-y}=9\end{matrix}\right.;\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{y+12}=1\\\dfrac{x}{y-12}-\dfrac{x}{y}=2\end{matrix}\right..\)
Hướng dẫn giải
a) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{y}\end{matrix}\right.\left(u,v\ne0\right)\).
Đáp số: $x=2,$ $y=3$.
b) \(\left\{{}\begin{matrix}4\left(x+y\right)=5\left(x-y\right)\\\dfrac{40}{x+y}+\dfrac{40}{x-y}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{x-y}=\dfrac{5}{x+y}\\\dfrac{40}{x+y}+\dfrac{40}{x-y}=9\end{matrix}\right..\)
Đáp số: $x=9,$ $y=1$.
c) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}-\dfrac{x}{y+12}=1\\\dfrac{x}{y-12}-\dfrac{x}{y}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12x=y\left(y+12\right)\\12x=2y\left(y-12\right)\end{matrix}\right..\)
Trừ theo vế của hai phương trình, ta tìm được $y=36$ (chú ý rằng \(y\ne0;y\ne\pm12\)), từ đó tính được $x=144$.
Đáp số: $x=144,$ $y=36$.