Quay lại giao diện cũ
Bài tập tự luận: Góc ở tâm. Số đo cung
Giả sử A là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (B và C là các tiếp điểm). Tìm số đo cung nhỏ và cung lớn BC của đường tròn (O), biết rằng $\widehat{BAC}=\alpha$.
Hướng dẫn giải
Các tam giác $OAB$ và $OAC$ vuông lần lượt tại $B$ và $C$. Ta có $\widehat{OAB}+\widehat{AOB}={90}^{\circ\ },$ $ \widehat{OAC}+\widehat{AOC}={90}^{\circ\ }$.
Suy ra $\left(\widehat{OAB}+\widehat{OAC}\right)+\left(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}\right)={180}^\circ$.
Cho đường tròn $O$ đường kính $AB$ và dây cung $AC$. Chứng tỏ rằng $\text{sđ } \widehat{BAC}=\frac{1}{2} \text{sđ } \overgroup{BC}$.
Hướng dẫn giải
Ta thấy $\widehat{BOC}$ là góc ngoài của tam giác $AOC$ cân tại $C$ nên $\widehat{BOC}=2\widehat{AOC}=2\widehat{BAC}$.
Giả sử M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O ; R) . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Biết rằng OM = 2R, tìm số đo góc ở tâm $\widehat{AOB}$.
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn. Ta có I là trung điểm của OM.
Tam giác vuông OMB có BI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên BI = $\frac{1}{2}$OM = R.
Từ đó suy ra được tam giác OBI là tam giác đều.
Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường phân giác góc OBO' cắt các đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại C và D. So sánh hai góc BOC và BO'D.
Hướng dẫn giải
Chú ý rằng hai tam giác OBC và O'BD là hai tam giác cân.
Cho tam giác $ABC$ có $\hat{B}=70°$, $\hat{C}=50°$. Đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác đó và tiếp xúc các cạnh $AB,$ $AC,$ $BC$ theo thứ tự $D,$ $E,$ $F$. Tính số đo các cung $DE,$ $EF$ và $FD$.
Hướng dẫn giải
Xét tứ giác $ODBF$ có $\hat{D}=\hat{F}={90}^\circ$.
Suy ra $\text{sđ } \overgroup{DF} = \widehat{DOF}={180}^\circ-\widehat{DBF}={180}^\circ-70°=110°$.
Tương tự, tính được số đo các cung $DE$ và $EF$.
Cho đường tròn (O), trên dây cung AB của đường tròn lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FB. Hỏi các góc AOE, EOF, FOE có bằng nhau hay không?
Hướng dẫn giải
Giả sử các góc AOE, EOF, FOE bằng nhau.
Xét tam giác AOF, ta thấy OE vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên OE cũng là đường cao.
Suy ra OE $\perp$ AB. (1)
Chứng minh tương tự, OF $\perp$ AB. (2)
Từ (1) và (2) suy ra E $\equiv$ F (vô lý).
Vậy các góc AOE, EOF, FOE không bằng nhau.