Quay lại giao diện cũ
Bài tập tự luận: Góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn
Ở hình vẽ trên, $BD$ là tia phân giác góc $ABC$. Chứng minh rằng $\widehat{AHD}=\widehat{BKE}$.
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, chú ý rằng sđ \(\stackrel\frown{AD}\) = sđ \(\stackrel\frown{DC}\).
Ở hình vẽ trên, sđ $\overgroup{AB}=100°$, sđ $\overgroup{ED}=90°,$ $\widehat{P}=25°,$ $\widehat{AIE}=70°$. Hãy tìm số đo cung $BC$.
Hướng dẫn giải
$\widehat{AIB}=180°- \widehat{AIE}=110°. \widehat{AIB}=\frac{1}{2}$sđ $\overgroup{AB}+$ sđ $\overgroup{EC}$
$\Rightarrow$ sđ $\overgroup{EC}=2\widehat{AIB} -$ sđ $\overgroup{AB} =2.110°-100°=120°.$
sđ $\overgroup{CD} =$ sđ $\overgroup{EC}-$ sđ $\overgroup{DE}=120°-90°=30°.$
Từ đó tìm được số đo cung $BC$.
Trên đường tròn (O) cho các điểm A, B, C, D theo thứ tự đó. Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB, BC, CD và DA. Chứng minh các đường thẳng MQ và NP vuông góc với nhau.
Hướng dẫn giải
Gọi I là giao điểm của NQ và MP.
\(\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}\left(\text{sđ}\stackrel\frown{MN}+\text{sđ}\stackrel\frown{PQ}\right)\)
Chứng minh được $\text{sđ}\stackrel\frown{MN}+\text{sđ}\stackrel\frown{PQ}$ bằng số đo cung nửa đường tròn.
Cho đường tròn (O) và ba điểm A, B, C nằm trên đó. Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt BC tại D. Tia phân giác góc BAC cắt đường tròn tại M, tia phân giác của góc ADC cắt AM tại I. Chứng minh rằng AM $\bot$ DI.
Hướng dẫn giải
DI vuông góc với AM khi và chỉ khi tam giác ADN cân tại A.
Chú ý rằng góc DAN là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung AM, góc DNA là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn.
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm thuộc cung BC, E là giao điểm của BC và AD. Chứng minh rằng AC2 = AD.AE.
Hướng dẫn giải
Xét hai trường hợp, D thuộc cung BC chứa A và D không thuộc cung BC chứa A.
Đưa về đẳng thức tỉ số $AC^2 = AD.AE \Leftrightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AB}{AD}$, và chứng minh thông qua tam giác đồng dạng.
Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B và C. Gọi M, N và P theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB, BC và AC. BP cắt AN tại I, NM cắt AB tại E. Gọi D là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng:
a) Tam giác BNI cân;
b) AE.BN = EB.AN;
c) EI // BC;
d) $\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AB}{BD}$.
Hướng dẫn giải
Trong tam giác ABC, đường phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại D. Giả sử (T) là đường tròn tiếp xúc với BC tại D và đi qua điểm A. Gọi M là giao điểm thứ hai của (T) và AC, P là giao điểm thứ hai của (T) và BM, E là giao điểm của AP và BC. Chứng minh rằng BE2 = EP.EA.
Hướng dẫn giải
Trên đường tròn tâm O bán kính R, kẻ ba dây cung liên tiếp bằng nhau AB, BC và CD (mỗi dây có độ dài nhỏ hơn R). Gọi I là giao điểm của AB và CD. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và D cắt nhau tại K.
a) Chứng minh rằng \(\widehat{BIC}=\widehat{BKD}\).
b) Chứng mình rằng BC là tia phân giác góc KBD.
Hướng dẫn giải
a) Dùng công thức tính số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn.
b) Chú ý rằng góc KBC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung CD và C là điểm chính giữa cung BD.
Cho đường tròn tâm O và dây AB. Trên hai cung AB lấy lần lượt các điểm M và N. Hai tia AM và NB cắt nhau tại C, hai tia AN và MB cắt nhau tại D. Chứng minh rằng nếu \(\widehat{ACN}=\widehat{ADM}\) thì \(AB\perp CD\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức tính số đo các góc có đỉnh ở ngoài đường tròn ACB và ADB, suy ra được AB là đường kính của đường tròn. Từ đó B là trực tâm của tam giác ACD.