Bài tập tự luận chuyên đề : Phân tích biểu thức thành nhân tử

Gợi ý: Viết các biểu thức đã cho về hằng đẳng thức bình phương của một tổng/ hiệu.

a)  \(10+2\sqrt{21}=\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)^2\)

b)  \(12-2\sqrt{27}=\left(3-\sqrt{3}\right)^2\)

c)  \(11+2\sqrt{30}=\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)^2\)

d)  \(14-2\sqrt{45}=\left(3-\sqrt{5}\right)^2\)

a)   \(x^2-2=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\)

b)   \(3x^2-1=\left(\sqrt{3}x-1\right)\left(\sqrt{3}x+1\right)\)

c)   \(\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}=\left(\sqrt{x}\right)^3+\left(\sqrt{y}\right)^3=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\)

d)   \(8\sqrt{x^3}-27=\left(2\sqrt{x}\right)^3-3^3=\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(4x+6\sqrt{x}+9\right)\)

Gợi ý: Áp dụng phương pháp tách hạng tử.

Đáp án:

a)  \(x+6\sqrt{x}-7=\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+7\right)\)

b)   \(x-6\sqrt{x}+8=\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-4\right)\)

c)   \(3x+5\sqrt{x}+2=\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)\)

 Với \(a,b\ge0\) ta có:

a)

  \(3a-2\sqrt{ab}-b=3a-3\sqrt{ab}+\sqrt{ab}-b\\ =3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\\ =\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(3\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)

b)

   \(5a+3\sqrt{ab}-8b=5a-5\sqrt{ab}+8\sqrt{ab}-8b\\ =5\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)+8\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\\ =\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(5\sqrt{a}+8\sqrt{b}\right)\)

a)    \(x-2\sqrt{x-1}-4=\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1-4\\ =\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2-2^2=\left(\sqrt{x-1}-1-2\right)\left(\sqrt{x-1}-1+2\right)=\left(\sqrt{x-1}-3\right)\left(\sqrt{x-1}+1\right)\)

b)

   \(x-2\sqrt{x-6}-5-y^2=\left(x-6\right)-2\sqrt{x-6}+1-y^2\\ =\left(\sqrt{x-6}-1\right)^2-y^2=\left(\sqrt{x-6}-1-y\right)\left(\sqrt{x-6}-1+y\right)\)

c)

   \(x-2\sqrt{x-8}-7-a^2=\left(x-8\right)-2\sqrt{x-8}+1-a^2\\ =\left(\sqrt{x-8}-1\right)^2-a^2=\left(\sqrt{x-8}-1-a\right)\left(\sqrt{x-8}-1+a\right)\)

a)   \(\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{\sqrt{30}+\sqrt{18}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{6}\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

b)  Với  \(a,b>0\)

  \(\dfrac{a+\sqrt{ab}}{b+\sqrt{ab}}=\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2+\sqrt{a}.\sqrt{b}}{\left(\sqrt{b}\right)^2+\sqrt{a}.\sqrt{b}}\\ =\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

c)   Với \(x\ge0\)

\(\dfrac{4x+3\sqrt{x}-7}{4\sqrt{x}+7}=\dfrac{4x+7\sqrt{x}-4\sqrt{x}-7}{4\sqrt{x}+7}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(4\sqrt{x}+7\right)-\left(4\sqrt{x}+7\right)}{4\sqrt{x}+7}=\dfrac{\left(4\sqrt{x}+7\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{4\sqrt{x}+7}=\sqrt{x}-1.\\ \)d)     Với    \(x\ge0;x\ne16\)

\(\dfrac{x-3\sqrt{x}-4}{x-\sqrt{x}-12}=\dfrac{x+\sqrt{x}-4\sqrt{x}-4}{x+3\sqrt{x}-4\sqrt{x}-12}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)-4\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)-4\left(\sqrt{x}+3\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\)

a)  Điều kiện xác định \(x\ge0\)

 \(x-3\sqrt{x}+2=0\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x}-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=1\\\sqrt{x}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(tm\right)\\x=4\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{1;4\right\}\)

b)   Điều kiện xác định:

 \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-1\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x\ge1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge1\)

 \(\sqrt{x^2-1}-\sqrt{x+1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-\sqrt{x+1}=0\)

Với điều kiện xác định ta có \(x+1\ge0;x-1\ge0\)nên \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}\).

Khi đó ta có:

  \(\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}-\sqrt{x+1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=0\\\sqrt{x-1}-1=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Đối chiếu với điều kiện \(x=2\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=2\).

c)   Điều kiện xác định \(x\ge\dfrac{-1}{2}\)

\(x^2+4x+4-\sqrt{2x+1}-\left(x-1\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x+2\right)^2-\left(x-1\right)^2-\sqrt{2x+1}=0\\ \Leftrightarrow\left(x+2+x-1\right)\left(x+2-x+1\right)-\sqrt{2x+1}=0\\ \Leftrightarrow3\left(2x+1\right)-\sqrt{2x+1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x+1}\left(3\sqrt{2x+1}-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{2x+1}=0\\3\sqrt{2x+1}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1}{2}\\x=\dfrac{-4}{9}\end{matrix}\right.\)

Đối chiếu điều kiện ta có \(x=\dfrac{-1}{2};x=\dfrac{-4}{9}\).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{\dfrac{-1}{2};\dfrac{-4}{9}\right\}\).

a)

 \(\sqrt{4x-20}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9x-45}=4\\ \Leftrightarrow\sqrt{4\left(x-5\right)}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}\sqrt{9\left(x-5\right)}=4\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-5}+\sqrt{x-5}-\dfrac{1}{3}.3.\sqrt{x-5}=4\\ \Leftrightarrow2\sqrt{x-5}=4\)

Điều kiện xác định: \(x\ge5\).

 \(PT\Leftrightarrow\sqrt{x-5}=2\\ \Leftrightarrow x-5=4\\ \Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=9\).

b)   \(\sqrt{x^2-36}-\sqrt{x-6}=0\)

Phương trình có tập nghiệm  \(S=\left\{6;7\right\}\).

c)   Điều kiện xác định : \(-2\le x\le2\)

\(\sqrt{4-x^2}-x+2=0\Leftrightarrow\sqrt{4-x^2}=x-2\)

Với điều kiện đã cho thì \(VT\ge0,VP\le0\)nên phương trình đã cho tương đương với  

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-x^2}=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4-x^2=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm2\\x=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=2\left(tm\right)\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=2\).

d)   \(\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}-\sqrt{x-1}=0\)

Điều kiện xác định: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-3\right)\left(x-1\right)\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-3\ge0\\x-1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\x\ge1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge\dfrac{3}{2}\)

Với điều kiện trên thì 

 \(\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}=\sqrt{2x-3}.\sqrt{x-1}\)

    \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)}-\sqrt{x-1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{2x-3}.\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=0\\ \Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)=0\)

Giải 2 trường hợp, đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm \(x=2\).