Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x - y - z - 1 = 0$, $(Q): 2x + y - z - 2 = 0$ và điểm $A(-1; 2; 0)$. Viết phương trình mặt phẳng $(R)$ đi qua điểm $A$ đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d: \dfrac{x + 2}{1} = \dfrac{y + 3}{2} = \dfrac{z - 3}{-2}$ và $d': \begin{cases} x = 1 - t \\ y = -2 + t \\ z = 2t \end{cases}$.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d'$.

b) Tính góc giữa $d$ và $d'$.

Trong không gian $Oxyz$, tính góc tạo bởi đường thẳng $d: \dfrac{x + 3}{2} = \dfrac{y - 2}{-2} = \dfrac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P): x + y - 2z + 3 = 0$.

Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh của một chiếc nón và Trái Đất được "thả" vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5.45b). Trong mô hình toán học, đường chân trời đối với người quan sát tại vị trí B là tập hợp những điểm $A$ nằm trên bề mặt Trái Đất sao cho $\widehat{BAO}=90^\circ$, với $O$ là tâm Trái Đất (H.5.45c). Trong không gian $Oxyz$, giả sử bề mặt Trái Đất $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2=1$ và người quan sát ở vị trí $B(1;1; 1)$.

Gọi $A$ là một vị trí bất kì trên đường chân trời đối với người quan sát ở vị trí $B$. Tính khoảng cách $AB$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x - 2y - 3z + 1 = 0$. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ có toạ độ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $I(1; -1; 2)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n} = (2; 1; -1)$ làm một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 3}{-2}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có toạ độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ có toạ độ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I(2; -1; 1)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{u} = (1; 2; -3)$ làm một vectơ chỉ phương là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1; 0; -1)$, $B(2; 1; 1)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình đường thẳng $d$ đi qua $I(2; 1; -3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): x - 2y + z - 3 = 0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): (x + 1)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 4$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$ lần lượt là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ lần lượt là