Ta có : \(x\left|x+2\right|\ge x^2-x-6\)

\(\Rightarrow x\left|x+2\right|-x^2+x+6\ge0\)

TH1 : \(x+2\ge0\left(x\ge-2\right)\)

BPt \(\Leftrightarrow x\left(x+2\right)-x^2+x+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-x^2+x+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\ge-\dfrac{6}{3}=-2\)

- Kết hợp điều kiện  \(\Rightarrow x\ge-2\)

TH₂ : \(x+2< 0\left(x< -2\right)\)

BPt \(\Leftrightarrow-x\left(x+2\right)-x^2+x+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2x-x^2+x+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2x^2-x+6\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2\le x\le\dfrac{3}{2}\)

- Kết hợp điều kiện \(\Rightarrow\)Không có x thỏa mãn .

Vậy bpt có nghiệm \(x=[-2;+\infty)\) 

Sửa đề: \(19 + 3x + 4\sqrt{-x^2 - x + 6} = 10\sqrt{2 - x} + 10\sqrt{x + 3}\) (1)

ĐKXĐ: -3<=x<=2

Đặt \(u=\sqrt{2-x};v=\sqrt{x+3}\) (Điều kiện: u>0; v>0)

\(u^2+v^2=2-x+3+x=5\)

\(uv=\sqrt{\left(2-x\right)\left(x+3\right)}=\sqrt{2x+6-x^2-3x}=\sqrt{-x^2-x+6}\)

\(v^2=x+3\)

=>\(x=v^2-3\)

=>\(3x=3v^2-9\)

(1) sẽ trở thành: \(19 + (3v^2 - 9) + 4uv = 10u + 10v\)

=>\(10+3v^2+4uv-10u-10v=0\)

=>\(u(4v-10)=-3v^2+10v-10=-3\left(v^2-\frac{10}{3}v+\frac{10}{3}\right)=-3\left(v^2-2\cdot v\cdot\frac53+\frac{25}{9}+\frac59\right)=-3\left(v-\frac53\right)^2-\frac53<0\) ∀v

=>u(4v-10)<0

=>4v-10<0

=>4v<10

=>v<5/2

=>\(u = \frac{3v^2 - 10v + 10}{10 - 4v}\)

=>\(5 - v^2 = \left( \frac{3v^2 - 10v + 10}{10 - 4v} \right)^2\)

=>\((5 - v^2)(10 - 4v)^2 = (3v^2 - 10v + 10)^2\)

=>\((5 - v^2)(16v^2 - 80v + 100) = 9v^4 - 60v^3 + 160v^2 - 200v + 100\)

=>\(-16v^4 + 80v^3 - 20v^2 - 400v + 500 = 9v^4 - 60v^3 + 160v^2 - 200v + 100\)

=>\(25v^4 - 140v^3 + 180v^2 + 200v - 400 = 0\)

=>\(5v^4 - 28v^3 + 36v^2 + 40v - 80 = 0\)

=>\((v - 2)(5v^3 - 18v^2 + 40) = 0\)

=>v-2=0

=>v=2

=>x+3=4

=>x=1(nhận)

ĐKXĐ: ...

\(\sqrt{x^2-x-30}-3\sqrt{x+5}-2\sqrt{x-6}=-6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-6\right)}-3\sqrt{x+5}-2\sqrt{x-6}=-6\)(*)

đặt \(\sqrt{x+5}=a\ge0;\sqrt{x-6}=b\ge0\)

\(\text{pt(*)}\Leftrightarrow ab-3a-2b=-6\\ \Leftrightarrow\Leftrightarrow ab-3a-2b+6=0\\ \Leftrightarrow a\left(b-3\right)-2\left(b-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(b-3\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+5}=2\\\sqrt{x-6}=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+5=4\\x-6=9\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(ktm\right)\\x=15\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

\(1B\backslash2B\backslash3B\)

PT cho tđuong với: (x^2 +9). (x^2 + 9x) = 22 (x-1)^2
Đặt t = [x^2 + 9 + x^2 + 9x]/2 hay t= x^2 + (9x + 9)/2. 
Khi đó: x^2 + 9 = t - 9(x-1)/2 
x^2 + 9x = t + 9(x-1)/2 
PT cho trở thành: [t - 9(x-1)/2]. [t + 9(x-1)/2] = 22(x-1)^2 
<=> t^2 -(81/4)(x-1)^2 = 22(x-1)^2 
<=> t^2 = (169/4)(x-1)^2 
<=> t = 13/2. (x-1) hoặc t= -13/2. (x-1) 
<=> 2t =13x -13 hoặc 2t =-13x + 13 
hay 2x^2 + 9x+ 9 =13x -13 hoặc 2x^2 + 9x +9 = -13x +13 
hay 2x^2 - 4x +22 =0 hoặc 2x^2 + 22x - 4 =0 

PT bậc hai thứ nhất vô nghiệm, PT bậc hai thứ hai cho ta hai nghiệm là: 
x= (-11 +căn(129))/2 , x= (-11 - căn(129))/2. 
 

cách 2:đặt x-1=k

pt trở thành (k+1)(k²+2k+10)(k+10)=22k²

<=>(k²+2k+10)(k²+11k+10)=22k²

tự làm tiếp

Giúp e vs cả nhà ơii 🤧

Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow4x^2+4y^2+4z^2\ge2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

A no thơ quay nhưng lại không hay:P(Another way)

\(BĐT\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) (biến đổi tương đương thôi)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y-2z\right)^2\ge0\) (true)

Đẳng thức xảy ra khi x =y = z

P/s: cách này làm màu thôi :D

Biến đổi tương đương:

\(3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)