a) y = 4 x 3  + x, y′ = 12 x 2 + 1 > 0, ∀ x ∈ R

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x0; y0) thì f′(x0) = 12 x 0 2  + 1 = 13 (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x + 1). Từ đó ta có: x0 = 1 hoặc x0 = -1

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là y = 13x + 8 hoặc y = 13x - 8

c) Vì y’ = 12 x 2  + m nên m ≥ 0; y” = –6( m 2  + 5m)x + 12m

    +) Với m ≥ 0 ta có y’ > 0 (khi m = 0; y’ = 0 tại x = 0).

Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi m ≥ 0; y” = –6( m 2  + 5m)x + 12m

    +) Với m < 0 thì y = 0 ⇔ 

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với

y’ < 0 với

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng

và nghịch biến trên khoảng

a: \(y=x^4+2x^2-3\)

=>y'=\(4x^3+2\cdot2x=4x^3+4x=4x\left(x^2+1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(4x\left(x^2+1\right)>0\)

mà \(4\left(x^2+1\right)>0\)

nên x>0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

Đặt y'<0

=>\(4x\left(x^2+1\right)<0\)

mà \(4\left(x^2+1\right)>0\)

nên x<0

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)

Vẽ đồ thị:

b: \(y=-x^4-4x-1\)

=>y'=\(-4x^3-4=-4\left(x^3+1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(-4\left(x^3+1\right)>0\)

=>\(x^3+1<0\)

=>\(x^3<-1\)

=>x<-1

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1)

Đặt y'<0

=>\(-4\left(x^3+1\right)<0\)

=>\(x^3+1>0\)

=>\(x^3>-1\)

=>x>-1

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;+∞)

Vẽ đồ thị:

a: \(y=x^4+2x^2-3\)

=>y'=\(4x^3+2\cdot2x=4x^3+4x=4x\left(x^2+1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(4x\left(x^2+1\right)>0\)

mà \(4\left(x^2+1\right)>0\)

nên x>0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

Đặt y'<0

=>\(4x\left(x^2+1\right)<0\)

mà \(4\left(x^2+1\right)>0\)

nên x<0

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)

Vẽ đồ thị:

b: \(y=-x^4-4x-1\)

=>y'=\(-4x^3-4=-4\left(x^3+1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(-4\left(x^3+1\right)>0\)

=>\(x^3+1<0\)

=>\(x^3<-1\)

=>x<-1

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-1)

Đặt y'<0

=>\(-4\left(x^3+1\right)<0\)

=>\(x^3+1>0\)

=>\(x^3>-1\)

=>x>-1

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;+∞)

Vẽ đồ thị:

y = 4 x + 4 2 x + 1

Tập xác định: D = R \ {−1/2}

Ta có 

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞ ; −1/2) và (−1/2; + ∞ )

Tiệm cận đứng: x = −1/2;

Tiệm cận ngang: y = 2.

Giao với các trục tọa độ: (0; 4) và (-1; 0)

Đồ thị: