Đáp án D

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2 π  và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên  (-π/2; 3π/2)

Ta có hàm số y = sin x

* Đồng biến trên khoảng (-π/2; π/2)

* Nghịch biến trên khoảng (π/2; 3π/2)

Từ đây suy ra hàm số y = 1 - sinx

* Nghịch biến trên khoảng (-π/2; π/2)

* Đồng biến trên khoảng (π/2; 3π/2)

Đáp án A

Đáp án A

Ta có y = sin x - cos x = 2 sin x - π 4

Từ đây ta có thể loại đáp án C, do tập giá trị của hàm số là - 2 ; 2

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π do vậy ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn (-π/4; 7π/4)

Ta có:

* Hàm số đồng biến trên khoảng (-π/4; 3π/4)

* Hàm số nghịch biến trên khoảng (3π/4; 7π/4)

a)     y = sinx

-        Khoảng \(\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - \frac{{7\pi }}{2}} \right)\)

+ Vẽ đồ thị hàm số:

+ Đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{{9\pi }}{2}; - 4\pi } \right)\)

+ Nghịch biến trên khoảng; \(\left( { - 4\pi ; - \frac{{7\pi }}{2}} \right)\)

-        Khoảng \(\left( {\frac{{21\pi }}{2};\frac{{23\pi }}{2}} \right)\)

+ Vẽ đồ thị hàm số:

+ Đồng biến trên khoảng: \(\left( {11\pi ;\frac{{23\pi }}{2}} \right)\)

+ Nghịch biến trên khoảng: \(\left( {\frac{{21\pi }}{2};11\pi } \right)\)

a: \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2}=+\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\sqrt{x-2}+1=\sqrt{2-2}+1=1>0\\\lim\limits_{x\rightarrow2^+}x^2-3x+2=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\end{matrix}\right.\)

=>x=2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{x-2}+1}{x^2-3x+2}\)

b: \(\lim\limits_{x\rightarrow-5^+}\dfrac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}=\dfrac{\sqrt{5-5}-1}{\left(-5\right)^2+4\cdot\left(-5\right)}=\dfrac{-1}{25-20}=\dfrac{-1}{5}\)

=>x=-5 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-4\right)^+}\dfrac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-4\right)^+}\dfrac{5+x-1}{\left(\sqrt{5+x}+1\right)\left(x^2+4x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-4\right)^+}\dfrac{x+4}{\left(\sqrt{5+x}+1\right)\cdot x\left(x+4\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow\left(-4\right)^+}\dfrac{1}{x\left(\sqrt{5+x}+1\right)}=\dfrac{1}{\left(-4\right)\cdot\left(\sqrt{5-4}+1\right)}=\dfrac{1}{-8}=-\dfrac{1}{8}\)

=>x=-4 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}=+\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\sqrt{5+x}-1=\sqrt{5+0}-1=\sqrt{5}-1>0\\\lim\limits_{x\rightarrow0^+}x^2+4x=0\end{matrix}\right.\)

=>Đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{5+x}-1}{x^2+4x}\)

c: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2+2x}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\dfrac{5x+1-x^2-2x-1}{5x+1+\sqrt{x+1}}}{x\left(x+2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-x^2+3x}{\left(5x+1+\sqrt{x+1}\right)\cdot x\left(x+2\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-x\left(x-3\right)}{x\left(x+2\right)\left(5x+1+\sqrt{x+1}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{-x+3}{\left(x+2\right)\left(5x+1+\sqrt{x+1}\right)}=\dfrac{-0+3}{\left(0+2\right)\left(5\cdot0+1+\sqrt{0+1}\right)}\)

\(=\dfrac{3}{2\cdot\left(6+1\right)}=\dfrac{3}{14}\)

=>x=0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2+2x}\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow\left(-2\right)^+}\dfrac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2+2x}\) không có giá trị vì khi x=-2 thì căn x+1 vô giá trị

=>Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{5x+1-\sqrt{x+1}}{x^2+2x}\) không có tiệm cận đứng

d: \(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{4x^2-1}+3x^2+2}{x^2-x}\) không có giá trị vì khi x=0 thì \(\sqrt{4x^2-1}\) không có giá trị

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{4x^2-1}+3x^2+2}{x^2-x}\)

\(=+\infty\) vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\sqrt{4x^2-1}+3x^2+2=\sqrt{4-1}+3\cdot1^2+2=5+\sqrt{3}>0\\\lim\limits_{x\rightarrow1^+}x^2-x=0\end{matrix}\right.\)

=>x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{\sqrt{4x^2-1}+3x^2+2}{x^2-x}\)

a: \(y'< 0\)

=>\(\left(x-3\right)^3\cdot\left(x-1\right)^{22}\cdot\left(-3x-6\right)^7< 0\)

=>\(\left(x-3\right)\left(-3x-6\right)< 0\)

=>\(\left(x+2\right)\left(x-3\right)>0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< -2\end{matrix}\right.\)

y'>0

=>\(\left(x+2\right)\left(x-3\right)< 0\)

=>\(-2< x< 3\)

y'=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x-3=0\\x-1=0\\-3x-6=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=3\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-2;1\right);\left(1;3\right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-2\right);\left(3;+\infty\right)\)

b: y'<0

=>\(\left(4x-3\right)^3\cdot\left(x^2-1\right)^{21}\left(3x-9\right)^7< 0\)

=>\(\left(4x-3\right)\left(3x-9\right)\left(x^2-1\right)< 0\)

=>\(\left(4x-3\right)\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)< 0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(4x-3\right)\left(x-3\right)>0\\x^2-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< \dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\\-1< x< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1< x< \dfrac{3}{4}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(4x-3\right)\left(x-3\right)< 0\\x^2-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}< x< 3\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow1< x< 3\)

y'>0

=>\(\left(4x-3\right)\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(4x-3\right)\left(x-3\right)>0\\x^2-1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< \dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< -1\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(4x-3\right)\left(x-3\right)< 0\\x^2-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{4}< x< 3\\-1< x< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\dfrac{3}{4}< x< 1\)

Ta sẽ có bảng xét dấu sau đây:

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-1\right);\left(\dfrac{3}{4};1\right);\left(3;+\infty\right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-1;\dfrac{3}{4}\right);\left(1;3\right)\)