Theo đầu bài có \(x_1\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+c=0\)nên có

\(ax_1^2+bx_1+c=0\)

chia hai vế cho \(x_1^2\ne0\)ta được \(a+b\frac{1}{x_1}+c\frac{1}{x_1^2}=0\)

ta có \(c.\left(\frac{1}{x_1}\right)^2+b\left(\frac{1}{x_1}\right)+a=0\)

suy ra \(\frac{1}{x_1}\)là nghiệm của của phương trình \(cx^2+bx+a=0\)

Ta chọn \(x_2=\frac{1}{x_1}>0.\)vậy \(x_1x_2=1\)

áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 hai số dương ta có :

\(x_1+x_2+x_1x_2=x_1+\frac{1}{x_1}+1\ge2\sqrt{x_1.\frac{1}{x_1}}+1=3\left(dpcm\right)\)

Điều kiện a,b,c không cho làm sao suy được mấy cái đó mà bảo chứng minh b.

Mình thì tự học trước kì 2 nhưng mấy tuần này bận quá

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{b}{a}=\frac{ab}{a^2}>0\\x_1x_2=\frac{b}{a}=\frac{ab}{a^2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}-\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{x_1+x_2}{\sqrt{x_1x_2}}-\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\frac{b}{a}}{\sqrt{\frac{b}{a}}}-\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{b}{a}}-\sqrt{\frac{b}{a}}=0\)

Theo hệ thức vi-et ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5m\\x_1x_2=-4m\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có :

\(x_1^2+5mx_2-4m>0\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)+x_1x_2>0\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2>0\)

\(\Leftrightarrow25m^2>0\) ( Đúng )

Vậy đpcm

@Nguyễn Việt Lâm

b ở vế phải của biểu thức cuối kia từ đâu ra vậy bạn?