Lời giải:

Để \(A_n=20^n+16^n-3^n-1\vdots 323\)

\(\Leftrightarrow A_n\vdots 17 \) và \(A_n\vdots 19\)

------------------------------

Ta có: \(A_n=(20^n-3^n)+(16^n-1)\)

\(20^n-3^n=(20-3)(20^{n-1}+20^{n-2}.3+...+3^n)\vdots 17\)

TH1: $n$ lẻ:

\(16^n-1=16^n+1^n-2=(16+1)(16^{n-1}+...+1)-2\)

\(=17(16^{n-1}+...+1)-2\not\vdots 17\) do \(2\not\vdots 17\)

Khi đó \(A_n=(20^n-3^n)+(16^n-1)\not\vdots 17\) (loại)

TH2: $n$ chẵn.

\(16^n-1=16^{2k}-1^{2k}=(16^2-1)[(16^2)^{k-1}+...+1]=(16-1)(16+1)[(16^2)^{k-1}+...+1]\)

\(\Rightarrow 16^n-1\vdots 17\). Khi đó \(A_n=(20^n-3^n)+(16^n-1)\vdots 17\)

Mặt khác: \(A_n=(20^n-1)+(16^n-3^n)\)

\(20^n-1=20^n-1^n=(20-1)(20^{n-1}+...+1)\vdots 19\)

\(16^n-3^n=16^{2k}-3^{2k}=(16^2-3^2)[(16^2)^{k-1}+...+(3^2)^{k-1}]\vdots 16^2-3^2\vdots 19\)

\(\Rightarrow A=20^n-1+16^n-3^n\vdots 19\)

Vậy với $n$ chẵn thì $A_n$ vừa chia hết cho $17$ vừa chia hết cho $19$

Hay $A_n$ chia hết cho $323$

Vậy số $n$ là thỏa mãn là tập hợp các số nguyên dương chẵn.

mk nghĩ là các số chẵn

a) \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)=\left(3^n.3^2+3^n\right)-\left(2^n.2^2+2^n\right)\)

\(=\left[3^n.\left(3^2+1\right)\right]-\left[2^n.\left(2^2+1\right)\right]=\left(3^n.10\right)-\left(2^{n-1}.2.5\right)=\left(3^n.10\right)-\left(2^{n-1}.10\right)\)

Do: 3ⁿ . 10 chia hết cho 10 và 2^{n - 1} . 10 chia hết cho 10

=> ( 3ⁿ . 10 ) - ( 2^{n - 1} . 10 ) chia hết cho 10  => 3^{n + 2} - 2^{n + 2} + 3ⁿ - 2ⁿ chia hết cho 10

Đặt A=\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

=\(\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)

=\(3^n.\left(3^2+1\right)-2^n.\left(2^2+1\right)\)

=\(3^n.10-2^n.5\)

Có 10 chia hết cho 10 =>\(3^n.10\)chia hết cho 10 (1)

Có \(2^n\)luôn chia hết cho 2 =>\(2^n.5\)chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) =>\(\left(3^n.10-2^n.5\right)\)chia hết cho 10

=>A chia hết cho 10

=>\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)chia hết cho 10 (đpcm)

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)

\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n\times10-2^n\times5\)

\(=3^n\times10-2^{n-1}\times2\times5\)

\(=3^n\times10-2^{n-1}\times10\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

Đến đây bn kết nốt

Chúc bn học tốt

Câu a:

A = (36\(^{36}\) - 9\(^{10}\))

A = [\(\overline{..6}\) - (9\(^2\))\(^{10}\) ]

A = [\(\overline{..6}\) - (\(\overline{..1}\))\(^{10}\)]

A = [\(\overline{..6}\) - \(\overline{..1}\)]

A = \(\overline{..5}\)

Vậy A ⋮ 5 (1)

A = (36\(^{36}\) - 9\(^{10}\))

Vì 36 ⋮ 9; 9 ⋮ 9 nên A ⋮ 9 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

A ⋮ 5 và 9

5 = 5; 9 = 3\(^2\)

BCNN(5; 9) = 5.3\(^2\) = 45 suy ra A ∈ B(45) hay A ⋮ 45(đpcm)

b) B = [12^(n+1)+11^(n+2)] ⋮ 133 ∀n nguyên dương

Giải:

Với n = 1 ta có:

B = [12\(^{1+1}\) + 11\(^{1+2}\)]

B = [12\(^2\) + 11\(^3\)]

B = [144 + 1331]

B = 1475

1475 : 133 = 11 dư 12

Vậy việc chứng minh B chia hết cho 133 với mọi n nguyên dương là không thể.

A = 3\(^{n+3}\) - 2\(^{n+2}\) + 3\(^{n}\) - 2\(^{n}\)

A = (3\(^{n+3}\) + 3\(^{n}\)) - (2\(^{n+2}\) + 2\(^{n}\))

A = 3\(^{n}\).(3\(^3\) + 1) - 2\(^{n-1}\).(2\(^3\) + 2)

A = 3\(^{n}\).(9 + 1) - 2\(^{n}\).(2\(^3\) + 2)

A = 3\(^{n}\).10 - 2\(^{n}\).(8 + 2)

A = 3\(^{n}\).10 - 2\(^{n}\).10

A ⋮ 10(đpcm)

3\(^{n+3}\) + 3\(^{n+1}\) + 2\(^{n+3}\) + 2\(^{n+2}\)

= 3\(^{n}\).(3\(^3\) + 3) + 2\(^{n}\).(2\(^3\) + 2\(^2\))

= 3\(^{n}\).(9 + 3) + 2\(^{n}\).(8 + 4)

= 3\(^{n}\).12 + 2\(^{n}\).12

= 12.(3\(^{n}\) + 2\(^{n}\))

Vì 12 chia hết cho 6 nên:

3\(^{n+3}\) + 3\(^{n+1}\) + 2\(^{n+3}\) + 2 chia hết cho 6(đpcm)