Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(2m-1)x + 1
Tập xác định: D = R
y’= 3x2 -6mx + 3(2m-1) = 3(x2 – 2mx + 2m – 1)
Hàm số đồng biến trên D = R ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R
⇔ x2 – 2mx + 2m - 1≥0, ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = m2 – 2m + 1 = (m-1)2 ≤ 0 ⇔ m =1
b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu
⇔ phương trình y’= 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ (m-1)2 > 0 ⇔ m≠1
c) f’’(x) = 6x – 6m > 6x
⇔ -6m > 0 ⇔ m < 0
Câu 2:
$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$
Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$
Hai điểm cực trị cùng dương khi:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$
Đáp án C.
Câu 2:
Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:
$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$
Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$
$\Leftrightarrow m^2-4< 0$
$\Leftrightarrow -2< m< 2$
Đáp án A.
4.
Để hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có 2 cực tiểu và 1 cực đại
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\2-m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m>2\)
3.
Để hàm trùng phương có 3 cực trị thì \(ab< 0\Leftrightarrow m>1\)
Khi đó:
\(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\sqrt{m-1}\\x=\sqrt{m-1}\end{matrix}\right.\)
Gọi 3 điểm có hoành độ nói trên lần lượt là A; B; C \(\Rightarrow\) tam giác ABC cân tại A
\(A\left(0;2\right)\) ; \(B\left(-\sqrt{m-1};-m^2+2m+1\right)\) ; \(C\left(\sqrt{m-1};-m^2+2m+1\right)\)
Gọi H là trung điểm BC
\(y_H=\frac{y_B+y_C}{2}=-m^2+2m+1\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\left|y_A-y_H\right|.\left|x_B-x_C\right|\)
\(=\left(m-1\right)^2\sqrt{m-1}< 4\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^5< 32\Rightarrow m-1< 2\)
\(\Rightarrow m< 3\)
Vậy \(1< m< 3\)
Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)
Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :
\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)
Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Lời giải:
Hàm số có cực đại $(x_1,y_1)$, cực tiểu $(x_2,y_2)$ nằm về bên phải trục tung tương đương với\(y'=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3=0\) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ đều dương.
Điều này xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix} \Delta'=(m+1)^2-2(m^2+4m+3)>0\\ x_1+x_2=-(m+1)>0\\ x_1x_2=\frac{m^2+4m+3}{2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)(m+5)< 0\\ m+1< 0\\ (m+1)(m+3)>0\end{matrix}\right.\Rightarrow -5< m< -3\). Đáp án B
Ta có \(y'=3x^2-6\left(m+1\right)x+9\)
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt là \(x_1,x_2\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
Chọn D
Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì
⇔ m > 3