Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bất đẳng thức sau đây đúng với mọi a, b, c không âm:
\(\left(ab+bc+ca\right)\left[\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\right]\ge\frac{49}{18}+k\left(\frac{a}{b+c}-2\right)\)
với \(k=\frac{23}{25}\).
Note. \(k_{\text{max}}\approx\text{0.92102588865167}\) là nghiệm của phương trình bậc 5:
15116544*k^5+107495424*k^4-373143024*k^3+280903464*k^2+209797812*k-227353091 = 0
Ta có:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}=\frac{a\left(b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge\frac{4a\left(b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b^2+bc+c^2+ab+bc+ca\right)^2}=\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}\)
Tương tự ta được:
\(\frac{a\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+\frac{b\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}+\frac{c\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\)
\(\ge\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4b\left(ab+bc+ca\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4c\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2}\)
Vậy ta cần chứng minh:
\(\frac{4a\left(ab+bc+ca\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4b\left(ab+bc+ca\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)^2}+\frac{4c\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)^2}\ge2\)
Ta viết lại bất đẳng thức trên thành:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Đánh giá trên đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Câu hỏi của Nguyễn Xuân Đình Lực - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Chắc khó nhất ở chỗ: khử abc
Theo dirichlet
a(b-1)(c-1) \(\ge0\)
=> abc \(\ge\)ab + ac - a
Thay vào ta có: \(25\left(a^2+b^2+c^2\right)+54abc+36\ge25\left(a^2+b^2+c^2\right)+54\left(ab+bc-a\right)^2+36\)
Ta cần chứng minh:
\(25\left(a^2+b^2+c^2\right)+54\left(ab+ac-a\right)+36\ge6\left(a+b+c\right)+49\left(ab+bc+ac\right)\) (1)
Đến đây thì có thể dùng nhiều cách: Vì mình cũng dễ thấy nghiệm có a = b = c = 1
Dùng trung bình nhân ( hoặc cách khác)
SOS forever!
VT - VP
\(=\frac{\left(54bc+50a-49b-49c-6\right)^2}{100}-\frac{9\left(54bc+b-49c-6\right)^2\left(6c-11\right)}{5400c+100}+\frac{1350c\left(c-1\right)^2}{54c+1}\)
\(=\frac{\left(50a+50b-49c-6\right)^2}{100}+\frac{99\left(c-6\right)^2}{100}+9ab\left(6c-11\right)\)
Từ 2 đẳng thức trên có đpcm. Nếu muốn thì em gộp lại thành 1 biểu thức SOS giống a cho đẹp :D Tại hôm nay làm biếng nên viết tách ra, gộp mất công dò lại nhiều:v
Inequalities ok em!
Viết lại bất đẳng thức thành:
f (a; b ; c ) = \(25\left(a^2+b^2+c^2\right)+5\left(ab+ac\right)-49bc+36-60a-6\left(b+c\right)\)
Cho t = ( b + c ) /2 ( trung bình cộng )
Có: f(a; t; t) = \(25\left(a^2+2t^2\right)+10at-49t^2+36-60a-12t\)
f(a; b; c ) - f(a; t ; t) = \(25\left(b^2+c^2\right)-25.\frac{\left(b+c\right)^2}{2}-49bc+49\frac{\left(b+c\right)^2}{4}\)
= \(25\left(b^2+c^2\right)-\frac{\left(b+c\right)^2}{4}-49bc=\frac{99}{4}\left(b-c\right)^2\ge0\)
=> f(a; b ; c ) \(\ge\)f(a; t ; t)
Xét f( a; t ; t) = \(25\left(a^2+2t^2\right)+10at-49t^2+36-60a-12t\)
= \(25a^2+2.5a.\left(t-6\right)+t^2-12t+36\)
= ( 5a + t - 6) ^2 \(\ge0\) với mọi a; t ( lâu lắm mới thấy bài đẹp thế này )
Vậy f(a; b ; c) \(\ge\)f(a; t ; t ) \(\ge\)0 với mọi a; b ; c ; t = (b+ c)/2
Dấu "=" xảy ra <=> 5a + t - 6 = 0 ; b = c <=> b = c và a = ( 6 - b)/5
Nếu cách làm của cô đúng thì chúng ta có thể làm theo cách SOS; đen ta; trung bình nhân; .....
Chú ý đây là bài bất không đối xứng.
và tth_new thiếu đáp án ( 0; 6; 6 ) cũng là đáp án.
Mới nghĩ ra ý tưởng này, chia sẻ luôn:
Đầu tiên vô lại phải khử 54abc đi ngay (khó đánh giá) nên ta nghĩ đến hướng tách: \(VT-VP=A+9ab\left(6c-11\right)\) (với \(A\ge0\)). Để tìm A thì ta xét hiệu trừ đi và dùng tam thức bậc 2 thì tìm được đẳng thức số 2 của em!
Trong trường hợp ngược lại: \(6c-11\le0\) thì đặt \(a+b=2t\)
\(VT-VP=\frac{\left(50a+5b-49c-6\right)^2}{100}+\frac{99\left(c-6\right)^2}{100}+\frac{9}{4}\left(a+b\right)^2\left(6c-11\right)\)
\(=\frac{\left(100t-49c-6\right)^2}{100}+\frac{99\left(c-6\right)^2}{100}+9t^2\left(6c-11\right)\)
\(=\frac{\left(54ct-49c+t-6\right)^2}{54c+1}+\frac{1350c\left(c-1\right)^2}{54c+1}\)
PS: Tam thức bậc 2: \(ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{\left(4ac-b^2\right)}{4a}\)
Cách trên là một cách hay! chưa check
Cách khác, nhưng em mới học uvw nên không chắc đâu ạ, cô Nguyễn Linh Chi check giúp em cách này với!
Đặt \(a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v^2,abc=w^3\)
Cần chứng minh: \(f\left(w^3\right)=54w^3+225u^2-297v^2-18u+36\ge0\)
Dễ thấy khi \(w^3\) giảm thì \(f\left(w^3\right)\) giảm nên ta chỉ cần chứng minh BĐT khi \(w^3\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Điều này xảy ra khi 2 trong a,b,c bằng nhau hoặc 1 số bằng 0.
TH1: Giả sử a = b thì cần:
\(\frac{\left(54bc+b-49c-6\right)^2}{54c+1}+\frac{1350c\left(c-1\right)^2}{54c+1}\ge0\) (đúng)
TH2: Giả sử c = 0 thì chứng minh:
\(\frac{\left(50a-49b-6\right)^2}{100}+\frac{99\left(b-6\right)^2}{100}\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Bài này có cách đề cm = AM-GM và cauchy-schwarz đấy, tại vì em học trong chuyên đề đó mà
Tất nhiên là có, chẳng hạn dạng \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) (1)
Có cách chứng minh chỉ dùng AM-GM. Nhưng có vẻ BĐT trên mạnh hơn (1) nên dùng (1) để khử abc không thành công. Còn tách thì bài này phải khéo hơn, vì có thêm "đại lượng bậc 1: a + b + c" tạm gọi vậy:v Còn (1) không có nên nhìn vô là nhóm để AM-GM được ngay!
Cô làm AM-GM hay Cauchy - Schwarz đc ko ạ, ??
Thiếu: Dấu "=" xảy ra <=> a = ( 6-b)/5 ; b = c ; a ( b - 1) (c-1) = 0
<=> a = 0; b = c = 6 hoặc a = b = c = 1
cùng với các hoán vị
Cô ơi em dùng Maple tính ra
\(f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)=\frac{9}{4}\left(b-c\right)^2\left(11-6a\right)\)
Chính vì vậy bài này muốn dồn biến thì phải chia 2 TH như SOS của em vì thế em SOS cho nhanh:))
Lộn: \(f\left(a;b;c\right)-f\left(a;t;t\right)\) nha!
Cách 1 của em là SOS? EM vẫn không nhận ra sai chỗ nao..
Cách 2 là phương pháp uvw.
https://drive.google.com/uc?id=11L9Oyt5ZzuUrFnC7kdK4ipLRhz6hBwKD&export=download (em sẽ gửi link vô tin nhắn cho cô!)
Em dùng định lí Tejs’s
Dùng Maple cho nhanh chứ em tính tya bình thường:))
Inequalities
AM-GM sau khi dùng dirichlet
\(f\left(a;b;c\right)=25\left(a^2+b^2+c^2\right)+5a\left(b+c\right)-49bc+36-60a-6\left(b+c\right)\)
\(\ge25a^2+\frac{25}{2}\left(b+c\right)^2+5a\left(b+c\right)-\frac{49}{4}\left(b+c\right)^2+36-60a-6\left(b+c\right)\)
\(=\left(5a+\frac{b+c}{2}\right)^2+36-60a-6\left(b+c\right)\)
\(=\left(5a+\frac{b+c}{2}\right)^2+36-2.6\left(5a+\frac{b+c}{2}\right)\)
\(=\left(5a+\frac{b+c}{2}-6\right)^2\ge0\)
Dấu "=" <=> \(5a+\frac{b+c}{2}-6=0;a\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0;b=c\)
<=> a = b = c = 1 hoặc a = 0; b = c = 6.
Thanks cô Chi, bài làm của cô hay quá!