Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
. . M K F G E H I p/s: hình ảnh chỉ mang t/c minh họa
a) Xét \(\Delta KFH\) và \(\Delta KEF\) có:
\(\widehat{K}\) chung ; \(\widehat{KFH}=\widehat{KEF}=\left(\frac{1}{2}sđcungHF\right)\)
=> \(\Delta KFH\) đồng dạng \(\Delta KEF\)
=>\(KF^2=KE.KH\) (1)
b) Vì: EG//MF(gt) => \(\widehat{KMH}=\widehat{MGE}\)
Mà: \(\widehat{MGE}=\widehat{MEH}\left(=\frac{1}{2}sđcungHE\right)\)
=> \(\widehat{KMH}=\widehat{MEH}\)
=> \(\Delta KHM\) đồng dạng \(\Delta KME\)
=> \(\frac{KM}{KE}=\frac{KH}{KM}\Rightarrow KM^2=KE.KH\) (2)
Từ (1)(2)=>đpcm
*Mấu chốt bài này là c/m 5 điểm M,A,I,O,B nằm trên cùng 1 đg tròn.
- Ta có: △OAM vuông tại A, △OBM vuông tại B.
\(\Rightarrow\)△OAM, △OBM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
\(\Rightarrow\)AMBO nội tiếp đường tròn đường kính OM (1).
- Ta có AC//EF \(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{MIB}\) (2 góc so le trong).
- Trong (O) có:
\(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB.
\(\widehat{MAB}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến MA và dây cung AB.
\(\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{MAB}\)
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MIB}\). Do đó AIBM nội tiếp (2). (2 góc cùng nhìn 1 cạnh bằng nhau).
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\)A,M,B,O,I cùng nằm trên đường tròn đường kính OM.
\(\Rightarrow\)△OIM nội tiếp đường tròn đường kính OM.
\(\Rightarrow\)△OIM vuông tại I nên OI vuông góc với EF tại I.
Trong (O): EF là dây cung, OI là 1 phần đường kính, \(OI\perp EF\) tại I..
\(\Rightarrow\)I là trung điểm EF (đpcm).
 I C B D O E
.Ta có :ICIC là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow\widehat{CIE}=\widehat{IBC}\)
\(\Rightarrow\)ΔICE∼ΔIBC(g.g)\(\Rightarrow\)
IEIC=ICIB→ICE^=IBC^→ΔICE∼ΔIBC(g.g)→IEIC=ICIB
\(\Rightarrow\)IC2=IE.IB→IC2=IE.IB
Ta có : BD//AC\(\Rightarrow\widehat{IAE}=\widehat{EDB}=\widehat{ABE}\)
\(\Rightarrow\)ΔAIE∼ΔBIA(g.g)\(\Rightarrow\)
AIBI=IEIA\(\Rightarrow\)
IA2=IB.I
Dễ có IC là tiếp tuyến của đường tròn nên IC2 = IB.IE (1)
Theo tính chất của góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, ta có: ^EBA = ^BDA
Lại có: ^BDA = ^DAC (BD//AC, hai góc so le trong)
Từ đó suy ra ^EBA = ^DAC
∆AIE và ∆BIA có: ^AIB là góc chung, ^EBA = ^DAC (cmt) nên ∆AIE ~ ∆BIA (g.g)
=>\(\frac{IA}{IE}=\frac{IB}{IA}\Rightarrow IA^2=IB.IE\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra IA2 = IC2 hay IA = IC
Vậy I là trung điểm của AC (đpcm)
a, Xét tứ giác MEOF có \(\widehat{MEO}=\widehat{MFO}=90^0\)
=> Tứ giác MEOF nội tiếp (t/c)
=> 4 điểm M,E,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính MO (1)
Xét tứ giác AFOM có : \(\widehat{MAO}=\widehat{MFO}=90^0\)
=> Tứ giác AFOM nội tiếp (t/c)
=> 4 điểm M,A,O,F cùng thuộc đường tròn đường kính MO (2)
Từ (1) và (2) => Năm điểm A, M, E, O, F cùng thuộc đường tròn đường kính MO
a: Ta có: ΔOAB cân tại O
mà OH là đường trung tuyến
nên OH⊥AB tại H
Ta có: \(\hat{OHM}=\hat{OEM}=\hat{OFM}=90^0\)
=>O,H,E,M,F cùng thuộc đường tròn đường kính OM
b: Xét (O) có
ME,MF là các tiếp tuyến
Do đó: ME=MF
=> M nằm trên đường trung trực của EF(1)
Ta có: OE=OF
=>O nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1),(2) suy ra OM là đường trung trực của EF
=>OM⊥EF tại K và K là trung điểm của EF
Xét ΔOHM vuông tại H và ΔOKI vuông tại K có
\(\hat{HOM}\) chung
Do đó: ΔOHM~ΔOKI
=>\(\frac{OH}{OK}=\frac{OM}{OI}\)
=>\(OH\cdot OI=OK\cdot OM\)
c: Xét ΔOEM vuông tại E có EK là đường cao
nên \(OK\cdot OM=OE^2=R^2\)
=>\(OH\cdot OI=R^2=OA^2\)
=>\(\frac{OH}{OA}=\frac{OA}{OI}\)
Xét ΔOHA và ΔOAI có
\(\frac{OH}{OA}=\frac{OA}{OI}\)
góc HOA chung
Do đó: ΔOHA~ΔOAI
=>\(\hat{OHA}=\hat{OAI}\)
=>\(\hat{OAI}=90^0\)
=>IA là tiếp tuyến của (O)
Xét ΔOAI và ΔOBI có
OA=OB
\(\hat{AOI}=\hat{BOI}\)
OI chung
Do đó: ΔOAI=ΔOBI
=>\(\hat{OAI}=\hat{OBI}\)
=>\(\hat{OBI}=90^0\)
=>IB là tiếp tuyến của (O)
M E K H G I F
a ) Xét \(\Delta KFH\) và \(\Delta KEF\) có :
\(\widehat{K}\) chung ; \(\widehat{KFH}=\widehat{KEF}=\left(\frac{1}{2}sđcungHF\right)\)
\(\Rightarrow\Delta KFH\) đồng dạng \(\Delta KEF\)
\(\Rightarrow KF^2=KE.KH\left(1\right)\)
b) Vì : EG//MF (gt) \(\Rightarrow\widehat{KMH}=\widehat{MGE}\)
Mà : \(\widehat{MGE}=\widehat{MEH}=\left(\frac{1}{2}sđcungHE\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KMH}=\widehat{MEH}\)
\(\Rightarrow\Delta KHM\) đồng dạng \(\Delta KME\)
\(\Rightarrow\frac{KM}{KE}=\frac{KH}{KM}\Rightarrow KM^2=KE.KH\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) đpcm
Chúc bạn học tốt !!!