Cho điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (A,B,C,D thuộc đường tròn tâm O), tia MC nằm giữa hai tia MO và MA. Gọi H là giao điểm của AB và MO.

a/ CM tứ giác MAOB nội tiếp.

b/ Gọi K là trung điểm CD. Chứng minh 5 điểm M, A, K, O, B cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra KM là phân giác của góc AKB.

c/ Đường thẳng OK cắt đường thẳng AB tại N. Chứng minh ND là tiếp tuyến đường tròn (O)

Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A bất kỳ thuộc đường tròn (O). Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy một điểm M sao cho MA=2R. Từ M vẽ tiếp tuyến MB với (O) (B là tiếp điểm, B khác A); OM cắt AB tại H

a) Chứng minh tứ giác OAMB là tứ giác nội tiếp và OM vuông góc AB

b) Vẽ đường kính BD của đường tròn (O); MD cắt đường tròn (O) tại E (E khác D).Chứng minh MB²=MA²=ME.MD

c) Tính góc MHE
d) Từ A vẽ AF vuông góc BD (F thuộc BD); tia BE cắt đường thẳng AF tại K.Chứng minh A là trung điểm của KF 

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến MA đến (O) (với A là tiếp điểm) và vẽ cát tuyến MBC sao cho MB < MC và tia MC nằm giữa hai tia MA, MO. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng OM, gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BC.

1. Chứng minh rằng O, E, A, M cùng thuộc một đường tròn

2. Chứng minh rằng MA² = MB.MC

3. Chứng minh tứ giác BCOM nội tiếp và HA là tia phân giác của góc BHC

4. Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại điểm I.

Chứng minh rằng S ΔBIM/S ΔBHI  = BM/BH

Cho đường tròn (O). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hẻ hai tiếp tuyến MA,MB của (O) ( với A,B là các tiếp điểm). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt (O) tại N ( khác A). Đường tròn đường kính NA cắt các đường thẳng AB và MA theo thứ tự tại I và K. a) Chứng minh tứ giác NHBI nội tiếp. b) Chứng minh tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK. c) Gọi C là giao điểm của NB và HI, gọi D là giao điểm của Na và KI, Đường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh CI = EA.

từ một điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O , vẽ 2 tiếp tuyến MA , MB với đường tròn (A,B là 2 tiếp điểm ).Trên dây AB lấy điểm H (H khác A và B).Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với OH cắt đường thẳng MA ở E, cắt đoạn thẳng MB tại F

1. chứng minh tứ giác có 4 đỉnh O,H,A,E là tứ giác nội tiếp.

2.chứng minh tam giác OEF cân.

3.kẻ OI vuông góc với AB ( I THUỘC AB).chứng minh OI.OF=OB.OH

Câu 4: Cho đường tròn tâm O, điểm M cố định ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). Trên cung nhỏ AB lấy điểm N. Từ N kẻ tiếp tuyến với (O) cắt MA, MB lần lượt tại E và F.
1. Chứng minh: Tứ giác AONE nội tiếp
2. Chứng minh: chu vi tam giác MEF và độ lớn EOF không phụ thuộc vị trí điểm N.
3. Giả sử AOB = 120°. Gọi I, K là giao điểm của OE và OF với AB. Tính tỉ số EF/IK.

Cho điểm M nằm ngoài (O;R). Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD (tia MC nằm giữa tia MO và MA). Gọi H là giao điểm của OM và AB.

a/ Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp

b/ K là trung điểm CD. Chứng minh 5 điểm M, A, K, O, B cùng thuộc 1 đường tròn. Suy ra KM là phân giác của góc AKB.

c/ Đường thẳng OK cắt AB tại N. Chứng minh ND là tiếp tuyến của (O)

d/ Vẽ đường kính BE của đường tròn (O). Từ C vẽ đường thẳng song song với OM cắt các đường thẳng BE và ED lần lượt tại I và P. Chứng minh I là trung điểm CP.

Cho đường tròn tâm O, điểm M cố định nằm ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với (O) ( A,B là tiếp điểm ). Trên cung nhỏ AB lấy điểm N và từ N kẻ tiếp tuyến với (O) cắt MA,MB lần lượt tại E và F

1) Chứng minh tứ giác AONE nội tiếp 

2) Chứng minh chu vi tam giác MEF và độ lớn góc EOF không phụ thuộc vị trí điểm N

3) Gọi I,K lần lượt là giao điểm của OE và OF với AB. Cho \(\widehat{AOB}\)= 120 độ, tính tỉ số \(\frac{EF}{IK}\)

4) Đường thẳng qua O vuông góc với OM cắt MA,MB lần lượt tại C và D. Tìm vị trí điểm N để ( EC+FD ) có độ dài nhỏ nhất