Câu hỏi của Sbooz Overwatch

Question

Trong tam giác ABC, AD và BE là hai đường cao hạ từ điểm A và B xuống đáy. Điểm E nằm trên cạnh AC và điểm D nằm trên cạnh BC. biết AE = 1/4 * AC và BD = 1/3 * BC. BE và AD cắt nhau tại F. Diện tích tam giác BDF gấp mấy lần diện tích tam giác AEF?

Quoc Tran Anh Le · Accepted Answer

Ta đặt hệ tọa độ để tính nhanh.

Chọn:

A(0, 0)

C(4, 0) ⇒ AC = 4

Vì AE = 1/4 AC ⇒ E(1, 0)

Gọi B(x, y) với y ≠ 0.

Vì BE ⟂ AC (AC nằm ngang) ⇒ BE là đường thẳng đứng x = 1.

Suy ra B có hoành độ 1 ⇒ B(1, y).

Trên BC có D sao cho BD = 1/3 BC.

Vì D nằm trên BC và BD = 1/3 BC nên

D = B + 1/3 (C − B).

Tính:

C − B = (4 − 1, 0 − y) = (3, −y)

⇒ D = (1, y) + (1, −y/3) = (2, 2y/3)

Giao điểm F của AD và BE.

BE: x = 1

Phương trình AD:

A(0,0) → D(2, 2y/3)

Tham số: (2t, 2yt/3)

Giao với x = 1:

2t = 1 ⇒ t = 1/2

⇒ F(1, y/3)

Tính diện tích

Diện tích tam giác AEF

A(0,0), E(1,0), F(1, y/3)

S_AEF = 1/2 × AE × EF

= 1/2 × 1 × y/3

= y/6

Diện tích tam giác BDF

B(1,y), D(2,2y/3), F(1,y/3)

S_BDF = 1/2 × BD × khoảng cách F đến BD

Tính bằng tọa độ:

S_BDF = |det(DB, FB)| / 2

DB = (2−1, 2y/3 − y) = (1, −y/3)

FB = (1−1, y/3 − y) = (0, −2y/3)

det = 1 × (−2y/3) − (−y/3) × 0

= −2y/3

⇒ S_BDF = (2y/3) / 2 = y/3

Tỉ số:

S_BDF / S_AEF = (y/3) / (y/6) = 2

Kết luận:

Diện tích tam giác BDF gấp 2 lần diện tích tam giác AEF.

Câu trả lời: