Bài 1:

Gọi A và B lầm lượt là giao điểm của d với Ox và Oy

\(\Rightarrow A\left(3;0\right)\) ; \(B\left(0;5\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|x_A\right|=3\\OB=\left|y_B\right|=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{15}{2}\)

Bài 2:

Đề thiếu, phải đối xứng qua cái gì chứ bạn?

I là trung điểm CD \(\Rightarrow ID=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB\)

Mà ID song song AB \(\Rightarrow ID\) là đtb tam giác ABM

\(\Rightarrow\)D là trung điểm AM \(\Rightarrow DM=AD=CD\Rightarrow\Delta CDM\) vuông cân tại D

\(\overrightarrow{MC}=\left(3;-1\right)\Rightarrow CM=\sqrt{10}\) \(\Rightarrow CD=\frac{CM}{\sqrt{2}}=\sqrt{5}\)

Gọi \(D\left(a;b\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CD\perp DM\\CD=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{CD}=\left(a-2;b+2\right)\\\overrightarrow{MD}=\left(a+1;b+1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-2\right)\left(a+1\right)+\left(b+2\right)\left(b+1\right)=0\\\left(a-2\right)^2+\left(b+2\right)^2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-a+b^2+3b=0\\a^2-4a+b^2+4b+3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2-a+b^2+3b=0\\3a-b-3=0\Rightarrow b=3a-3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2-a+\left(3a-3\right)^2+3\left(3a-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow10a^2-10a=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow D\left(1;0\right)\)

D là trung điểm AM \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=2x_D-x_M=3\\y_A=2y_D-y_M=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(3;1\right)\)

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow B\left(4;-1\right)\)

Ủa làm xong mới để ý B có hoành độ dương chứ ko phải D :))))

Vậy ko loại ngay \(a=0\) mà vẫn phải tính (nhưng đằng nào cũng loại)

Bạn coi lại đề, đề bài này không đúng (chắc chắn bạn ghi nhầm 1 dữ kiện nào đó)

CD nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt

Đường thẳng AD vuông góc CD nên nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AD:

\(4\left(x+2\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x+3y+5=0\)

a. \(\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\) ; \(\overrightarrow{BC}=\left(-2;-4\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=4.\left(-2\right)+\left(-2\right).\left(-4\right)=0\\AB=\sqrt{4^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{5}\\BC=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-4\right)^2}=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB\perp BC\\AB=BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) vuông cân tại B

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.BC=10\)

b.

\(\overrightarrow{AC}=\left(2;-6\right)=2\left(1;-3\right)\)

(h) vuông góc AC nên nhận (1;-3) là 1 vtpt

Phương trình: \(1\left(x-2\right)-3\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x-3y+10=0\)

c.

Gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(5;0\right)\)

Phương trình trung trực BC qua M và vuông góc BC (nên nhận (1;2) là 1 vtpt):

\(1\left(x-5\right)+2y=0\Leftrightarrow x+2y-5=0\)

Tọa độ K là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-5=0\\x-3y+10=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow K\left(-1;3\right)\)

Chứng minh ABHK là hbh, nhưng H là điểm nào vậy bạn?

d.

Gọi \(D\left(0;d\right)\Rightarrow\overrightarrow{CD}=\left(-4;d+2\right)\)

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}=0\Leftrightarrow2.\left(-4\right)+\left(-6\right).\left(d+2\right)=0\Rightarrow d=-\dfrac{10}{3}\)

\(\Rightarrow D\left(0;-\dfrac{10}{3}\right)\)

\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.1-4.\left(-2\right)+4\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=\dfrac{15}{5}=3\)

Tự

Giao điểm của (d1) và (d2):

$ 2x = -x + 3 \\\Leftrightarrow 3x = 3 \\\Leftrightarrow x = 1 \\\Leftrightarrow y = 2x = 2 . 1 = 2 $

Vậy giao điểm của (d1) và (d2) là $ (1;2) $

(d3) // (d1) $ \Rightarrow a = 2 $

(d3) cắt (d2) tại điểm có tung độ là 4

$ \Rightarrow \begin{case} 4 = -x + 3 \\ 4 = 2x + b \end{case} \\\Leftrightarrow x = -1 \Rightarrow b = 6 $

Tọa độ đỉnh B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_B-2=2\\y_B+\dfrac{9}{2}=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\left(4;\dfrac{11}{2}\right)\)

Tọa độ đỉnh D là:

x=-3-(-2)=-1 và y=6-9/2=3/2

Tọa độ đỉnh C là:

x=7-2=5 và y=9/2-2=5/2