Em cảm ơn ạ

Lời giải:

Do $E\in Oy$ nên đặt tọa độ điểm $E(0,a)$

Từ ĐKĐB: \(\overrightarrow{BC}=(-3,5)\); \(\overrightarrow{AE}=(-2,a-4)\)

Để $ABCE$ là hình thang có 2 đáy $BC$ và $AE$ thì \(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AE}\) là 2 vecto cùng phương,cùng hướng.

Điều này xảy ra khi tồn tại $k>0$ sao cho:

$\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AE}$

$\Leftrightarrow (-3,5)=k(-2,a-4)$

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2k=-3\\ k(a-4)=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} k=\frac{3}{2}\\ k(a-4)=5\end{matrix}\right.\Rightarrow a-4=\frac{10}{3}\Rightarrow a=\frac{22}{3}\)

Vậy $E(0, \frac{22}{3})$

Gọi tọa độ điểm \(E\) \(\left(0,a\right)\)

BC và AE là hai đáy hình thang:

\(\overrightarrow{AE}=k.\overrightarrow{BC}\)

\(\Rightarrow\left(-2,a-4\right)=k\left(-3,5\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2=k.\left(-3\right)\\a-4=k.5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=\frac{2}{3}\\a=4+k.5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=\frac{22}{3}\) \(\Rightarrow E\left(0,\frac{22}{3}\right)\)

a/ \(\overrightarrow{AB}=\left(4;8\right)\Rightarrow\) đường thẳng AB có 1 vtpt là \(\left(2;-1\right)\)

Phương trình AB:

\(2\left(x-3\right)-\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow2x-y-2=0\)

A;P;B thẳng hàng \(\Rightarrow P\in AB\Rightarrow P\left(x;2x-2\right)\)

\(\overrightarrow{AP}=\left(x+1;2x+2\right)\Rightarrow AP^2=\left(x+1\right)^2+\left(2x+2\right)^2=5\left(x+1\right)^2\)

\(\Rightarrow5\left(x+1\right)^2=\left(3\sqrt{5}\right)^2\Rightarrow\left(x+1\right)^2=9\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}P\left(2;2\right)\\P\left(-4;-10\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi \(M\left(x;0\right)\)

b/ \(\overrightarrow{AM}=\left(x+1;4\right)\Rightarrow MA=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4^2}\)

\(\overrightarrow{MB}=\left(3-x;4\right)\Rightarrow MB=\sqrt{\left(3-x\right)^2+4^2}\)

\(T=MA+MB=\sqrt{\left(x+1\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(3-x\right)^2+4^2}\)

Áp dụng BĐT Mincopxki:

\(T\ge\sqrt{\left(x+1+3-x\right)^2+\left(4+4\right)^2}=4\sqrt{5}\)

\(T_{min}=4\sqrt{5}\) khi \(x+1=3-x\Rightarrow x=1\Rightarrow M\left(1;0\right)\)

c/ Tương tự như câu b:

\(MB+MC=\sqrt{\left(3-x\right)^2+4^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5^2}\)

\(MB+MC\ge\sqrt{\left(3-x+x-2\right)^2+\left(4+5\right)^2}=\sqrt{82}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{3-x}{4}=\frac{x-2}{5}\Rightarrow x=\frac{23}{9}\Rightarrow M\left(\frac{23}{9};0\right)\)

aetusrkyi

E trên trục hoành nên E(x;0)

A(6;3); B(-3;6); E(x;0)

\(\overrightarrow{AB}=\left(-9;3\right);\overrightarrow{AE}=\left(x-6;-3\right)\)

Để A,B,E thẳng hàng thì \(\dfrac{x-6}{-9}=\dfrac{-3}{3}=-1\)

=>x-6=9

=>x=15

Vậy: E(15;0)

Do E thuộc trục hoành nên tọa độ có dạng \(E\left(x;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-9;3\right)\\\overrightarrow{AE}=\left(x-6;-3\right)\end{matrix}\right.\)

3 điểm A, B, E thẳng hàng khi:

\(\dfrac{x-6}{-9}=\dfrac{-3}{3}\Rightarrow x-6=9\)

\(\Rightarrow x=15\Rightarrow E\left(15;0\right)\)

Câu 2:

a: \(\overrightarrow{AB}=\left(-5;4\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(4;5\right)\)

Vì -5/4<>4/5

nên A,B,C ko thẳng hàng

b: \(\overrightarrow{DC}=\left(7-x;6-y\right)\)

Để ABDC là hình bình hành

nên vecto AB=vecto DC

=>7-x=-5 và 6-y=4

=>x=12 và y=2

Giải trâu bò:

Gọi \(N\left(x;y\right)\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2=25\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{NP}=\left(5-x;10-y\right)\\2\overrightarrow{NQ}=\left(16-2x;2-2y\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{NP}+2\overrightarrow{NQ}=3.\left(7-x;4-y\right)\)

\(\Rightarrow A=\left|\overrightarrow{NP}+2\overrightarrow{NQ}\right|=3\sqrt{\left(x-7\right)^2+\left(y-4\right)^2}\)

\(A_{min}\) khi \(B=\left(x-7\right)^2+\left(y-4\right)^2\) đạt min

Lượng giác hóa:

Từ giả thiết \(\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2=25\Rightarrow\left(\frac{x-1}{5}\right)^2+\left(\frac{y+4}{5}\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x-1}{5}=sina\\\frac{y+4}{5}=cosa\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5sina+1\\y=5cosa-4\end{matrix}\right.\) thế vào B:

\(B=\left(5sina-6\right)^2+\left(5cosa-8\right)^2\)

\(B=25sin^2a+25cos^2a-60sina-80cosa+100\)

\(B=125-100\left(\frac{3}{5}sina+\frac{4}{5}cosa\right)=125-100.sin\left(a+\alpha\right)\)

\(\Rightarrow B_{min}=25\) khi \(sin\left(a+\alpha\right)=1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sina=\frac{3}{5}\\cosa=\frac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=5sina+1=4\\y=5cosa-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(4;0\right)\)