Để mai mk lm giờ pùn ngủ quá ^ ^

A B C H I K M

a) Xét hai tam giác ABI và AKI có:

AB = AK (gt)

\(\widehat{BAI}=\widehat{KAI}\left(gt\right)\)

AI: cạnh chung

Vậy \(\Delta ABI=\Delta AKI\left(c-g-c\right)\)

b) Vì AB = AK (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABK\) cân tại A

\(\Rightarrow\) AI là đường phân giác đồng thời là đường trung trực của BK

Vậy AI \(\perp\) BK

c) Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{IBH}=180^o\) (kề bù)

\(\widehat{AKI}+\widehat{IKC}=180^o\) (kề bù)

Mà \(\widehat{ABI}=\widehat{AKI}\left(\Delta ABI=\Delta AKI\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IBH}=\widehat{IKC}\)

Xét hai tam giác IBH và IKC có:

\(\widehat{IBH}=\widehat{IKC}\left(cmt\right)\)

IB = IC (\(\Delta ABI=\Delta AKI\))

\(\widehat{BIH}=\widehat{KIC}\) (đối đỉnh)

Vậy \(\Delta IBH=\Delta IKC\left(g-c-g\right)\)

Suy ra: IH = IC (hai cạnh tương ứng)

Do đó: \(\Delta IHC\) cân tại I

d) Ta có: AH = AB + BH

AC = AK + KC

Mà AB = AK (gt)

BH = KC (\(\Delta IBH=\Delta IKC\))

\(\Rightarrow\) AH = AC

\(\Rightarrow\) \(\Delta AHC\) cân tại A

e) \(\Delta AHC\) cân tại A có AI là đường phân giác đồng thời là đường cao

hay AI \(\perp\) HC

Mà AI \(\perp\) BK (cmt)

Do đó: BK // HC

i) Xét hai tam giác AHM và ACM có:

AH = AC (cmt)

MH = MC (gt)

AM: cạnh chung

Vậy \(\Delta AHM=\Delta ACM\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HAM}=\widehat{CAM}\) (hai góc tương ứng)

\(\Rightarrow\) AM là tia phân giác của \(\widehat{HAC}\)

Mà AI là tia phân giác của \(\widehat{BAK}\)

Vậy AI trùng AM hay ba điểm A, I, M thẳng hàng (đpcm).

ban tu ve hinh nha

Ta có : Góc DAB = góc CAE = 90 độ => góc DAB + góc BAC = góc CAE + góc BAc

hay góc DAC = góc EAB

Xét tam giác ADC và tam giác ABE có :

AD = AB ; AC = AE ; góc DAC = góc EAB

=> tam giác ADC = tam giác ABE => DC = BE

Vì tam giác ADC = tam giác ABE nên góc AEB = góc ACD

mà góc AKE = góc BKC (đối đỉnh) , góc AKE + góc AEB = 90 độ

=> góc BKC + góc AEB = 90 độ hay góc BKC + góc ACD = 90 độ

=> góc DC vuông góc BE

A B C H D E

a) Xét \(\Delta\)ABH và \(\Delta\)ADH có :

BH = DH (gt)

góc AHB = góc AHD ( = 90 độ )

AH chung

=> \(\Delta\)ABH = \(\Delta\)ADH (c.g.c)

=> AB = AD ( hai cạnh tương ứng )

=> \(\Delta\)ABD cân tại A , mà góc ABD = 60 độ ( Do góc ABC = 60 độ )

=> \(\Delta\)ABD là tam giác đều (đpcm)

b) Do \(\Delta\)ABD đều

=> góc BAD = 60 độ

=> góc DAC = 30 độ  (1)

Xét \(\Delta\)ABC có : góc A = 90 độ, góc B = 60 độ

=> góc C = 30 độ hay góc ACD = 30 độ  (2)

Từ (1) và (2) => \(\Delta\)ADC cân tại D

=> AD = DC và góc ADC = 120 độ

=> góc HDE = 120 độ ( đối đỉnh với góc ADC )

Xét \(\Delta\)AHD và \(\Delta\)CED có :

góc AHD = góc CED ( = 90 độ )

AD = CD (cmt)

góc ADH = góc CDE ( đối đỉnh )

=> \(\Delta\)AHD = \(\Delta\)CED ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> HD = ED ( hai cạnh tương ứng )

=> \(\Delta\)HDE cân tại E, có góc HDE = 120 độ (cmt)

=> góc DHE = góc DEH = 30 độ

Ta thấy : góc DHE = góc DCA = 30 độ , mà hai góc này ở vị trí sole trong

=> HE // AC  (3)

Lại có : góc BAC = 90 độ \(\Rightarrow AB\perp AC\)  (4)

Từ (3) và (4) => \(HE\perp AB\) (đpcm)

Phần c) bạn tham khảo thêm ở đây nhé :

Câu hỏi của Nguyễn Phương Mai - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

a.Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\) => \(\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\dfrac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\) (1)

\(\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\dfrac{\left(bk+dk\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\dfrac{k^2\left(b+d\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=k^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\dfrac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}\)

b.M = \(\left(1-\dfrac{1}{2^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{4^2}\right)...\left(1-\dfrac{1}{50^2}\right)\)

= \(\dfrac{3}{4}.\dfrac{8}{9}.\dfrac{15}{16}...\dfrac{2499}{2500}\)

= \(\dfrac{1.3.2.4.3.5...49.51}{2^2.3^2.4^2...50^2}\)

\(\dfrac{51}{2.50}=\dfrac{51}{100}\)

Lời giải:

a)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrow \left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}(1)\)

Mặt khác, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}(2)\) (áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

b) Vì \(1-\frac{1}{2^2};1-\frac{1}{3^2};...;1-\frac{1}{50^2}<1\) nên:

\(\left\{\begin{matrix} \left \{ 1-\frac{1}{2^2} \right \}=1-\frac{1}{2^2}\\ \left \{ 1-\frac{1}{3^2} \right \}=1-\frac{1}{3^2}\\ ....\\ \left \{ 1-\frac{1}{50^2} \right \}=1-\frac{1}{50^2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)....\left(1-\frac{1}{50^2}\right)\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{(2^2-1)(3^2-1)(4^2-1)....(50^2-1)}{(2.3....50)^2}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{[(2-1)(3-1)...(50-1)][(2+1)(3+1)...(50+1)]}{(2.3.4...50)^2}\)

\(\Leftrightarrow M=\frac{(2.3...49)(3.4.5...51)}{(2.3.4...50)^2}=\frac{(2.3.4...49)^2.50.51}{2.(2.3....49)^2.50^2}=\frac{50.51}{2.50^2}=\frac{51}{100}\)

Gọi E là trung điểm của AD

=>AE//BC và AE=BC

Xét tứ giác ABCE có

BC//AE

BC=AE
Do đó: ABCE là hình bình hành

mà BC=AB

nên ABCE là hình thoi

mà \(\widehat{CBA}=90^0\)

nên ABCE là hình vuông

=>\(\widehat{BCE}=\widehat{CEA}=90^0\) và CE=AE=ED

Xét ΔCED vuông tại E có EC=ED
nên ΔCED vuông cân tại E

=>\(\widehat{D}=45^0\)

=>\(\widehat{C}=135^0\)

b: Xét ΔACD có

CE là đường trung tuyến

CE=AD/2

Do đó:ΔACD vuông tại C 

a) \(VT=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)

\(=3\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)

\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)

\(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)

\(=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)\)

\(=\left(2^{16}-1\right)\left(2^{16}+1\right)=2^{32}-1=VP\)

Vậy \(\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right)=2^{32}-1\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\left(b>0,d>0\right)\)

a) Giả sử: +) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) \(\Rightarrow\) \(ad=bc\) (nhân chéo)

\(\Rightarrow\) nếu \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) thì \(ad< bc.\)

b) Giả sử \(ad=bc\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\) nếu \(ad< bc\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}.\)

a)\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a.d}{b.d}< \dfrac{c.b}{d.b}\Rightarrow ad< bc\)

b)\(ad< bc\Leftrightarrow\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}.\)