Dat \(P=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)\)

Ta co: \(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta d̃i CM:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Ta co:\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc\left(dpcm\right)\)

Dau '=' xay ra khi \(a=b=c\)

\(PT\Leftrightarrow9x^2+16x+96=9x^2+256y^2+576-96xy+768y-144x.\)

\(\Leftrightarrow256y^2-160x-96xy+768y+480=0\)

\(\Leftrightarrow8y^2-5x-3xy+24y+15=0\)

Đến chỗ này phân tích kiểu j được nhỉ

a: Xét ΔABC vuông tại A có

\(\sin B=\frac{AC}{BC};\sin C=\frac{AB}{BC}\)

=>\(\frac{sinB}{\sin C}=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{AB}\)

b: Xét ΔADE vuông tại D và ΔAHB vuông tại H có

AD=AH

\(\hat{DAE}=\hat{HAB}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔADE=ΔAHB

c: ΔADE=ΔAHB

=>AE=AB

Xét ΔCAE vuông tại A và ΔCAB vuông tại A có

CA chung

AE=AB

Do đó: ΔCAE=ΔCAB

=>CE=CB

=>ΔCBE cân tại C

d: ΔCAE=ΔCAB

=>\(\hat{ACE}=\hat{ACB}\)

Xét ΔCIA vuông tại I và ΔCHA vuông tại H có

CA chung

\(\hat{ICA}=\hat{HCA}\)

Do đó: ΔCIA=ΔCHA

=>AI=AH

=>I thuộc (A;AH)

Xét (A;AH) có

AI là bán kính

CE⊥AI tại I

Do đó; CE là tiếp tuyến tại I của (A;AH)

\(N=3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\)

\(\ge\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=6^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b =c = 1

Ta có đánh giá \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) \(\forall a:0< a< 3\)

Thật vật, biến đổi tương đương: \(\Leftrightarrow3+a^2\ge2a\left(3-a\right)\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\) ; \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)

Cộng vế với vế: \(N\ge2\left(a+b+c\right)=6\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đkxđ: \(\hept{\begin{cases}x\ge-\frac{1}{4}\\y\ge2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow2+\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=y\Leftrightarrow2+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{2}}=y\Leftrightarrow\sqrt{x+\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}=y\)

do x,y nguyên dương nên \(\sqrt{x+\frac{1}{2}}+\frac{5}{2}\)nguyên dương\(\Leftrightarrow\sqrt{x+\frac{1}{2}}=\frac{k}{2}\)(K là số nguyên lẻ, \(k>1\))

\(\Rightarrow x=\frac{k^2-2}{4}\)

do \(k^2\)là số chính phương chia 4 dư 0,1 \(\Rightarrow x=\frac{k^2-2}{4}\notin Z\)

=> ko tồn tại cặp số nguyên dương x,y tmđkđb

Chọn C(-1;0)

Tự luận thì bạn vẽ đồ thị ra

Trắc nghiệm thì bạn thay từng giá trị vào 

câu trên không có điều kiện các bạn nhé ! chỉ có thế thôi!