Theo tích chất đường trung bình trong một tam giác ta có: \(\overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {NA} \)

Gọi \(A\left( {{a_1},{a_2}} \right),B\left( {{b_1};{b_2}} \right),C\left( {{c_1};{c_2}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {PN}  = \left( {2;3} \right)\),\(\overrightarrow {BM}  = \left( {1 - {b_1}; - 2 - {b_2}} \right)\), \(\overrightarrow {MC}  = \left( {{c_1} - 1;{c_2} + 2} \right)\), \(\overrightarrow {MP}  = \left( {5;4} \right)\), \(\overrightarrow {NA}  = \left( {{a_1} - 4;{a_2} + 1} \right)\)

Có \(\overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {BM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 1 - {b_1}\\3 =  - 2 - {b_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b_1} =  - 1\\{b_2} =  - 5\end{array} \right.\) .Vậy \(B\left( { - 1; - 5} \right)\)

Có \(\overrightarrow {PN}  = \overrightarrow {MC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = {c_1} - 1\\3 = {c_2} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 3\\{c_2} = 1\end{array} \right.\) .Vậy \(C\left( {3;1} \right)\)

Có \(\overrightarrow {NA}  = \overrightarrow {MP}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = {a_1} - 4\\4 = {a_2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 9\\{a_2} = 3\end{array} \right.\) .Vậy \(A\left( {9;3} \right)\)

a) Do M, N, P là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = {x_M}\\\frac{{{x_B} + {x_A}}}{2} = {x_P}\\\frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = {x_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} = 4\\{x_B} + {x_A} = 2\\{x_A} + {x_C} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3\\{x_B} =  - 1\\{x_C} = 5\end{array} \right.\)  và  \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = {y_M}\\\frac{{{y_B} + {y_A}}}{2} = {y_P}\\\frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = {y_N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_B} + {y_C} = 0\\{y_B} + {y_A} = 4\\{y_A} + {y_C} = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_A} = 5\\{y_B} =  - 1\\{y_C} = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( {3;5} \right),B\left( { - 1; - 1} \right),C\left( {5;1} \right)\)

b) Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{3 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{5 + \left( { - 1} \right) + 1}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Trọng tâm tam giác MNP có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{2 + 4 + 1}}{3} = \frac{7}{3}\\\frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{0 + 2 + 3}}{3} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Vậy trọng tâm của 2 tam giác ABC và MNP là trùng nhau vì có cùng tọa độ.

Bài 1:

a: \(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-4\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(4;-3\right)\)

Vì -3/4<>-4/-3

nên A,B,C không thẳng hàng

b: Tọa độ G là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2-1+6}{3}=\dfrac{1+6}{3}=\dfrac{7}{3}\\y=\dfrac{3-1+0}{3}=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

c: D thuộc Ox nên D(0;y)

E thuộc Oy nên E(x;0)

ABED là hình bình hành nên vecto AB=vecto DE

=>vecto DE=(-3;-4)

=>x=-3; y=4

a: M là trung điểm của BC

=>\(\begin{cases}x_{B}+x_{C}=2\cdot x_{M}=2\cdot2=4\\ y_{B}+y_{C}=2\cdot y_{M}=2\cdot3=6\end{cases}\)

N là trung điểm của CA

=>\(\begin{cases}x_{C}+x_{A}=2\cdot x_{N}=2\cdot0=0\\ y_{C}+y_{A}=2\cdot y_{N}=2\cdot\left(-4\right)=-8\end{cases}\)

P là trung điểm của AB

=>\(\begin{cases}x_{A}+x_{B}=2\cdot x_{P}=2\cdot\left(-1\right)=-2\\ y_{A}+y_{B}=2\cdot y_{P}=2\cdot6=12\end{cases}\)

Ta có: \(\begin{cases}x_{B}+x_{C}=4\\ x_{C}+x_{A}=0\\ x_{A}+x_{B}=-2\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x_{B}-x_{A}=4\\ x_{B}+x_{A}=-2\\ x_{C}+x_{A}=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x_{B}=\frac{4+\left(-2\right)}{2}=\frac22=1\\ x_{A}=-2-1=-3\\ x_{C}=-x_{A}=3\end{cases}\)

Ta có: \(\begin{cases}y_{B}+y_{C}=6\\ y_{C}+y_{A}=-8\\ y_{A}+y_{B}=12\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y_{B}-y_{A}=6-\left(-8\right)=14\\ y_{B}+y_{A}=12\\ y_{B}+y_{C}=6\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y_{B}=\frac{14+12}{2}=\frac{26}{2}=13\\ y_{A}=12-13=-1\\ y_{C}=6-y_{B}=6-13=-7\end{cases}\)

=>A(-3;-1); B(1;13); C(3;-7)

b: Gọi G là trọng tâm của ΔABC

Tọa độ G là:

\(\begin{cases}x=\frac{-3+1+3}{3}=\frac13\\ y=\frac{-1+13-7}{3}=\frac{13-8}{3}=\frac53\end{cases}\)

Ta có: \(x_{M}+x_{N}+x_{P}=2+0+\left(-1\right)=1=3\cdot x_{G}\)

\(y_{M}+y_{N}+y_{P}=3+\left(-4\right)+6=9-4=5=3\cdot y_{G}\)

=>G là trọng tâm của ΔMNP

=>ΔABC và ΔMNP có chung trọng tâm

Do P thuộc Ox nên tọa độ có dạng \(P\left(p;0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}=\left(1;-3\right)\\\overrightarrow{MP}=\left(p-2;-1\right)\end{matrix}\right.\)

Do tam giác MNP vuông tại M \(\Rightarrow\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}=0\)

\(\Rightarrow1.\left(p-2\right)+3=0\) \(\Rightarrow p=-1\)

\(\Rightarrow P\left(-1;0\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{MP}=\left(-3;-1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=\sqrt{1^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{10}\\MP=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{10}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow S_{MNP}=\dfrac{1}{2}MN.MP=5\)

a: \(\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{2+4+2}{3}=\dfrac{8}{3}\\y_G=\dfrac{1+0+3}{3}=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{2+4}{2}=3\\y_I=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)