1/ so sánh:

Vì 199 < 2003

và 10 < 15

=> \(199^{10}< 2003^{15}\)

tíc mình nha

ta tách một số n như sau

\(n^2=n\cdot n=n\left(n-1+1\right)=n\left(n-1\right)+n\)

=> \(1^2=1\cdot0+1\)

\(2^2=2\cdot1+2\)

\(3^2=3\cdot2+3\)

.....

\(100^2=100\cdot99+100\)

=> \(B=\left(1\cdot0+2\cdot1+3\cdot2+\cdots+100\cdot99\right)+\left(1+2+\cdots+100\right)\)

nhân 3 vào ngoặc 1

=> \(=\frac{99.100.101}{3}=333300\) ( mik hơi lười vt bạn tự tra nha:v)

\(\Rightarrow B=333300+5050=338350\)

b) Áp dụng công thức tính tổng bình phương:

\(1^2+\cdots+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) ( từ câu a)

tổng từ \(1^2\) đến \(200^2\) là:

\(\frac{200.201.401}{6}=2686700\)

tổng từ \(1^2\) đến \(100^2\) là: \(338350\)

=>C=\(2686700-338350=2348350\)

c) tách số như sau:

\(1\cdot3=1\cdot2+1\)

\(2\cdot4=2\cdot3+2\)

...

\(100\cdot102=100\cdot101+100\)

=> \(S=\left(1\cdot2+2\cdot3+\cdots+100\cdot101\right)+\left(1+2+3+\cdots+100\right)\)

=> \(S=\frac{100.101.102}{3}+\frac{100.101}{2}\)

=> \(S=343400+5050=348450\)

d) \(1\cdot100=1\cdot101-1^2\)

\(2\cdot99=2\cdot101-2^2\)

...

\(100\cdot1=100\cdot101-100^2\)

=>T=\(\left(1\cdot101+2\cdot101+\cdots+100\cdot101\right)-\left(1^2+2^2+\cdots+100^2\right)\)

\(T=101\left(1+2+3+\cdots+100\right)-B\) (B là tổng ở câu a) nha)

T=\(101\cdot5050-338350\)

\(T=171700\)

e) => \(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot4\)

\(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot\left(5-1\right)+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot\left(101-97\right)\)

\(4E=1\cdot2\cdot3\cdot4+2\cdot3\cdot4\cdot5-1\cdot2\cdot3\cdot4+\cdots+98\cdot99\cdot100\cdot101-97\cdot98\cdot99\cdot100\)

=> \(4E=98\cdot99\cdot100\cdot101\)

=> \(E=24497550\)

b1) 199^2<2003^15

b2) (x-3)^2=144 =>x-3=7   =>x=10

b3) 

a)đặt tổng là A

ta có 2A-A=(2+2^2+...+2^10)-(1+2+2^2+...+2^9)

A=2^10 -1=1023

b)A< 2^10=4*2^8 <5*2^8

b4) 2^2+...+20^2=2^2*(1^2+2^2+...+10^2)=4*385=1540

Đặt \(A=2^0+2^1+..+2^{100}\)

\(\Rightarrow2A=2^1+2^2+..+2^{101}\)

lấy hiệu hai phương trình ta có

\(A=2^{101}-2^0=2^{101}-1\)

.\(B=5^1+5^2+..+5^{200}\)

\(\Rightarrow5B=5^2+5^3+..+5^{201}\)

Lấy hiệu hai phương trình ta có :

\(4B=5^{201}-5\Rightarrow B=\frac{5^{201}-5}{4}\)

a)Ta co:S=1+2²+2³+2⁴+....+2¹⁰

           2S=2²+2³+2⁴+2⁵+....+2¹¹

        2S-S=2¹¹-1

             S=2¹¹-1

Vậy S=2¹¹-1

S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + ... + 2^100 

2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + ... + 2^100 + 2^101 

2S - S = ( 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + ... + 2^100 + 2^101 ) - ( 1 + 2 + 2^2 +2^3 +2^4 + 2^5 + .... + 2^100 ) 

S = 2^101 - 1 

Vậy S = 2^101 - 1

Ta có :

S = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2¹⁰⁰

2S = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2¹⁰¹

2S - S =  ( 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2¹⁰¹ ) -  ( 1 - 2 - 2² - 2³ - 2⁴ - 2⁵ - ... - 2¹⁰⁰ )

S = 2^{101 -} 1