Gọi $AB\parallel CD$ và $AB<CD$.

Vì $AB\parallel CD$ nên:

$\widehat{A}+\widehat{D}=180^\circ$

Do $AE,DE$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat A,\widehat D$:

$\widehat{EAD}=\frac{\widehat A}{2}$

$\widehat{ADE}=\frac{\widehat D}{2}$

Trong $\triangle AED$:

$\widehat{AED}+\frac{\widehat A}{2}+\frac{\widehat D}{2}=180^\circ$

$\widehat{AED}+90^\circ=180^\circ$

$\widehat{AED}=90^\circ$

Vì $AB\parallel CD$ nên:

$\widehat B+\widehat C=180^\circ$

Do $BF,CF$ lần lượt là tia phân giác của $\widehat B,\widehat C$:

$\widehat{FBC}=\frac{\widehat B}{2}$

$\widehat{BCF}=\frac{\widehat C}{2}$

Trong $\triangle BFC$:

$\widehat{BFC}+\frac{\widehat B}{2}+\frac{\widehat C}{2}=180^\circ$

$\widehat{BFC}+90^\circ=180^\circ$

$\widehat{BFC}=90^\circ$

Gọi $P=AE\cap BF$ và $P\in CD$.

Đặt:

$AD=d,\quad BC=b,\quad CD=c$

Vì $AP$ là tia phân giác $\widehat A$ và $P\in CD$ nên từ tính chất tia phân giác trong cấu hình hình thang, ta có:

$PD=AD=d$

Tương tự, vì $BP$ là tia phân giác $\widehat B$:

$PC=BC=b$

Mà:

$CD=PD+PC$

$CD=AD+BC$

Vậy:

$AD+BC=CD$

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$.

Ta có:

$\widehat{EAD}=\frac{\widehat A}{2}$

$\widehat{ADE}=\frac{\widehat D}{2}$

Mà:

$\widehat A+\widehat D=180^\circ$

Suy ra:

$\widehat{EAD}+\widehat{ADE}=90^\circ$

Do đó:

$\widehat{AED}=90^\circ$

Đồng thời, do $AB\parallel CD$, hai tia phân giác tại $A,D$ đối xứng theo phương song song với hai đáy, nên $E$ có khoảng cách đến $AB$ và $CD$ bằng nhau.

Suy ra $E$ nằm trên đường thẳng qua trung điểm của hai cạnh bên, tức đường trung bình của hình thang.

Tương tự, $F$ cũng nằm trên đường trung bình.

Vậy: $E,F$ cùng nằm trên đường trung bình của hình thang $ABCD$.

Ta có : KABˆ=KADˆKAB^=KAD^ ( AK là tia phân giác A^A^ )
Mà KABˆ=AKDˆKAB^=AKD^ ( so le trong )
\Rightarrow AKDˆ=KADˆAKD^=KAD^
\Rightarrow △△ ADK cân tại D
\Rightarrow AD = KD (1)

Lại có : KBAˆ=KBCˆKBA^=KBC^ ( BK là tia phân giác B^B^ )
Mà KBAˆ=BKCˆKBA^=BKC^ ( so le trong )
\Rightarrow KBCˆ=BKCˆKBC^=BKC^
\Rightarrow △△ BCK cân tại C
\Rightarrow BC = CK (2)

Cộng (1) và (2) có :
AD + BC = KD + CK
\Rightarrow AD+BCTổng hai cạnh bên=CDCạnh đáy

Bài 3: 

Xét ΔCBD có CD=CB

nên ΔCBD cân tại C

Suy ra: \(\widehat{CDB}=\widehat{CBD}\)

mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ADB}\)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{DBC}\)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

nên AD//BC

hay ADCB là hình thang

AH là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{HAD}\)

DH là phân giác của góc ADC

=>\(\hat{ADC}=2\cdot\hat{ADH}\)

AB//CD
=>\(\hat{BAD}+\hat{ADC}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(2\left(\hat{ADH}+\hat{HAD}\right)=180^0\)

=>\(\hat{HAD}+\hat{HDA}=90^0\)

=>ΔHAD vuông tại H

=>\(\hat{AHD}=90^0\)

BK là phân giác của góc ABC

=>\(\hat{ABC}=2\cdot\hat{KBC}\)

CK là phân giác của góc BCD

=>\(\hat{BCD}=2\cdot\hat{KCB}\)

AB//CD

=>\(\hat{ABC}+\hat{BCD}=180^0\) (hai góc trong cùng phía)

=>\(2\left(\hat{KBC}+\hat{KCB}\right)=180^0\)

=>\(\hat{KBC}+\hat{KCB}=90^0\)

=>ΔKBC vuông tại K

=>\(\hat{BKC}=90^0\)

a)  Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.

Ta có: A D E ^ = 1 2 D ^  ngoài, D A E ^ = 1 2 A ^  ngoài.

Mà A ^  ngoài + D ^  ngoài = 1800 (do AB//CD)

⇒   A D E ^ + D A E ^ = 90 0 , tức là tam giác ADE vuông tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM.

Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.

Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM

b) Từ ý a),  EF = 1 2 ( A B + B C + C D + D A )