a: Kẻ AH⊥CD tại H và BK⊥CD tại K

Xét ΔAHD vuông tại H và ΔBKC vuông tại K có

AD=BC

\(\hat{ADH}=\hat{BCK}\)

Do đó: ΔAHD=ΔBKC

=>AH=BK và DH=CK

Xét tứ giác ABKH có

AH//BK

AH=BK

Do đó: ABKH là hình bình hành

=>AB=KH

=>KH=2(cm)

DH+HK+KC=DC

=>DH+KC=6-2=4(cm)

=>DH=KC=4/2=2(cm)

Xét ΔAHD vuông tại H có tan D=\(\frac{AH}{HD}\)

=>\(\frac{AH}{2}=\tan45=1\)

=>AH=2(cm)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AH\cdot\left(AB+CD\right)\)

\(=\frac12\cdot2\cdot\left(2+6\right)=8\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

M là trung điểm của AB

=>\(AM=MB=\frac{AB}{2}\)

N là trung điểm của BC

=>\(BN=NC=\frac{BC}{2}\)

P là trung điểm của CD

=>\(PC=PD=\frac{CD}{2}\)

Q là trung điểm của DA

=>\(DQ=QA=\frac{DA}{2}\)

TA có: \(BN=\frac12BC\)

=>\(S_{ABN}=\frac12\cdot S_{ABC}\)

\(BM=\frac12\cdot BA\)

=>\(S_{MBN}=\frac12\cdot S_{ABN}=\frac14\cdot S_{ABC}\)

Ta có: \(CN=\frac12\cdot CB\)

=>\(S_{DNC}=\frac12\cdot S_{DBC}\)

\(CP=\frac12CD\)

=>\(S_{NCP}=\frac12\cdot S_{NCD}=\frac12\cdot\frac12\cdot S_{DBC}=\frac14\cdot S_{DBC}\)

Ta có: \(DP=\frac12\cdot DC\)

=>\(S_{ADP}=\frac12\cdot S_{ADC}\)

\(DQ=\frac12DA\)

=>\(S_{DQP}=\frac12\cdot S_{DQC}=\frac14\cdot S_{DAC}\)

Ta có: \(AM=\frac12\cdot AB\)

=>\(S_{DAM}=\frac12\cdot S_{DAB}\)

\(AQ=\frac12\cdot AD\)

=>\(S_{AQM}=\frac12\cdot S_{ADM}=\frac14\cdot S_{ADB}\)

\(S_{AQM}+S_{BMN}+S_{NCP}+S_{DQP}\)

\(=\frac14\left(S_{ABC}+S_{ADC}+S_{ABD}+S_{BCD}\right)=\frac14\cdot\left(S_{ABCD}+S_{ABCD}\right)=\frac14\cdot2\cdot S_{ABCD}=\frac12\cdot S_{ABCD}\) =\(\frac12\cdot8=4\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

\(S_{AQM}+S_{BMN}+S_{NCP}+S_{DQP}+S_{MNPQ}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{MNPQ}=8-4=4\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

b: \(S_{AQM}+S_{BMN}+S_{NCP}+S_{DQP}+S_{MNPQ}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{MNPQ}+\frac12\cdot S_{ABCD}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{MNPQ}=\frac12\cdot S_{ABCD}\)

=>\(\frac{S_{ABCD}}{S_{MNPQ}}=2\)

a: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

=>\(\dfrac{BD}{30}=\dfrac{CD}{40}\)

=>\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}\)

mà BD+CD=BC=50cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{CD}{4}=\dfrac{BD+CD}{3+4}=\dfrac{50}{7}\)

=>\(BD=3\cdot\dfrac{50}{7}=\dfrac{150}{7}\left(cm\right);CD=4\cdot\dfrac{50}{7}=\dfrac{200}{7}\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác AMDN có

\(\widehat{AMD}=\widehat{AND}=\widehat{MAN}=90^0\)

=>AMDN là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của góc MAN

nên AMDN là hình vuông

b) Xét ΔBDA có 

DM là đường phân giác ứng với cạnh AB

nên \(\dfrac{BM}{MA}=\dfrac{BD}{DA}\)(1)

Xét ΔBDC có 

DN là đường phân giác ứng với cạnh BC

nên \(\dfrac{BN}{NC}=\dfrac{BD}{DC}\)(2)

Ta có: D là trung điểm của AC(gt)

nên DA=DC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{BM}{MA}=\dfrac{BN}{NC}\)

hay MN//AC(Định lí Ta lét đảo)

c) Xét tứ giác MNCA có MN//AC(cmt)

nên MNCA là hình thang

mà \(\widehat{MAC}=90^0\)

nên MNCA là hình thang vuông

a: AD=DC=6/2=3cm

BD=căn 8^2+3^2=căn 73(cm)

DM là phân giác

=>BM/BD=MA/AD

=>BM/căn 73=MA/3=(BM+MA)/(căn 73+3)=8/căn 73+3

=>BM=8*căn 73/3+căn 73(cm)

b: Xét ΔBAD có DM là phân giác

nen BM/MA=BD/DA=BD/DC

Xét ΔBDC có DN là phân giác

nên BN/NC=BD/DC

=>BM/MA=BN/NC

=>MN//AC

c: Xét tứ giác MNCA có MN//CA và góc MAC=90 độ

nên MNCA là hình thang vuông

Bài 1: 

a: BC=17cm

AH=120/7(cm)

b: Xét tứ giác AMHN có góc AMH=góc ANH=góc MAN=90 độ

nên AMHN là hình chữ nhật

Suy ra: AH=MN=120/7(cm)

c: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nen \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)