Phân tích trường hợp HĐT

Xét trường hợp :

123x0awf10

P/s: Áp dụng mà làm

Gọi \(A=5x^2+2y^2+14+4xy-4y+8x\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(4x+2y\right)+1+\left(x^2+4x+4\right)+\left(y^2-6y+9\right)\)

\(=\left(2x+y\right)^2+2\left(2x+y\right)+1+\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

\(=\left(2x+y+1\right)^2+\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2\)

Ta thấy các hạng tử của A đều \(\ge0\) nên \(A\ge0\forall x;y\) mà đề lại cho \(A\le0\) \(\Rightarrow A=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+y+1\right)^2+\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\y=3\end{cases}}\)

\(=\dfrac{2x\left(x-2y\right)}{\left(x+2y\right)^2}\cdot\dfrac{\left(x-2y\right)^2}{-\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}:\dfrac{5x^2y-10xy^2}{x^3+6x^2y+12xy^3+8y^3}\)

\(=\dfrac{-2x\left(x-2y\right)^2}{\left(x+2y\right)^3}\cdot\dfrac{\left(x+2y\right)^3}{5xy\left(x-2y\right)}\)

\(=\dfrac{-2x\cdot\left(x-2y\right)}{5xy}=\dfrac{-2\left(x-2y\right)}{5y}\)

a/ \(4x^2+2y^2-4xy+4x-2y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy+y^2\right)+2\left(2x-y\right)+1+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+2\left(2x-y\right)+1+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-y+1\right)^2+4=0\)

Với mọi x, y ta có :

\(\left(2x-y+1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(2x-y+1\right)^2+4>0\)

\(\Leftrightarrow pt\) vô nghiệm

\(A=x^2-4xy+4y^2+x^2+2x+1+2018\)

\(A=\left(x-2y\right)^2+\left(x+1\right)^2+2018\ge2018\)

\(A_{min}=2018\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(B=-\left(4x^2+4xy+y^2\right)-\left(x^2-6x+9\right)+2029\)

\(B=-\left(2x+y\right)^2-\left(x-3\right)^2+2029\le2029\)

\(B_{max}=2029\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-6\end{matrix}\right.\)

\(pt\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1\right)^2-5\left(x^2+y^2+1\right)=-y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+1\right)\left(x^2+y^2-4\right)=-y^2\)

Gọi d là UWCLN của x²+y²+1 và x²+y²-4

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+1⋮d\\x^2+y^2-4⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(x^2+y^2+1\right)\left(x^2+y^2-4\right)⋮d^2\Rightarrow y^2⋮d^2\Rightarrow y^2⋮d\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1⋮d\\x^2-4⋮d\end{cases}}\Rightarrow5⋮d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-5+6⋮d\\x^2+5-9⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+6⋮d\\x^2-9⋮d\end{cases}}\Rightarrow3⋮d\)

Do \(\left(3,5\right)=1\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2+1=a^2\\x^2+y^2-4=b^2\end{cases}\Rightarrow}a^2-1=b^2+4\Rightarrow a^2-b^2=5\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=5\)

Sau đó lập bảng xét các ước của 5 ta tìm được a và b, sau khi tìm được a và b ta sẽ tìm được x và y

Câu 4:

5x + 7y = 112

5(x+ y) = 112 - 2y

5(x + y) = 2(56 - y)

\(\begin{cases}x+y=2\\ 56-y=5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+y=2\\ y=56-5\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-y\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=2-51\\ y=51\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=-49\\ y=51\end{cases}\)

Vậy (x ; y) = (-49; 51)

1)<=> \(\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4x+4\right)-7=0\)

=> \(\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Rightarrow\left(x+1-y-2\right)\left(x+1+y+2\right)=7\)

\(\left(x-y-1\right)\left(x+y+3\right)=7\)

vì x;y là số nguyên dương=> \(x;y\ge1\Rightarrow x+y+3\ge1+1+3=5\)

=> \(x+y+3=7\Rightarrow x+y=4\)

\(x-y-1=1\Rightarrow x-y=2\)

cộng hai phương trình ta có:

=> \(\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=4+2\)

=> \(2x=6\)

=> x=3

=> y=4-3=1

2)<=> \(\left(x^2+xy+2x\right)+\left(2xy+2y^2+4y\right)+\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(x\left(x+y+2\right)+2y\left(x+y+2\right)+1\left(x+y+2\right)=17\)

=> \(\left(x+y+2\right)\left(x+2y+1\right)=17\)