Câu 1: \(y=mx^3-2m\cdot x^2+\left(m-2\right)\cdot x+1\)

=>y'=\(m\cdot3x^2-2m\cdot2x+\left(m-2\right)=3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\)

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y'=0 vô nghiệm

=>\(3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\) =0(1) vô nghiệm

TH1: m=0

(1) sẽ trở thành: \(3\cdot0\cdot x^2-4\cdot0\cdot x+0-2=0\)

=>-2=0(vô lý)

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot3m\cdot\left(m-2\right)=16m^2-12m^2+24m=4m^2+24m\)

Để (1) vô nghiệm thì Δ<0

=>4m(m+6)<0

=>m(m+6)<0

=>-6<m<0

Câu 2:

\(f\left(x\right)=x^3-2m\cdot x^2+mx+1\)

=>f'(x)=\(3x^2-2m\cdot2x+m=3x^2-4m\cdot x+m\)

=>f''(x)=\(3\cdot2x-4m=6x-4m\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=1 thì f'(1)=0 và f''(1)>0

=>\(3\cdot1^2-4m\cdot1+m=0\) và 6*1-4m>0

=>3-4m+m=0 và 4m<6

=>3-3m=0 và m<3/2

=>m=1

Ta có: \(y=\left(m-1\right)\cdot x^4-\left(m^2-2\right)\cdot x^2+2019\)

=>y'=\(\left(m-1\right)\cdot4x^3-\left(m^2-2\right)\cdot2x=\left(4m-4\right)\cdot x^3-\left(2m^2-4\right)\cdot x\)

=>y''=\(\left(4m-4\right)\cdot3x^2-\left(2m^2-4\right)=\left(12m-12\right)\cdot x^2-\left(2m^2-4\right)\)

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 thì y'(-1)=0 và y''(-1)>0

=>\(\left(4m-4\right)\cdot\left(-1\right)^3-\left(2m^2-4\right)\cdot\left(-1\right)=0\) và \(\left(12m-12\right)\cdot\left(-1\right)^2-\left(2m^2-4\right)\) >0

=>\(-4m+4+2m^2-4=0\) và 12m-12-2m^2+4>0

=>\(2m^2-4m=0\) và \(-2m^2+12m-8>0\)

=>2m(m-2)=0 và \(m^2-6m+4\) <0

=>m∈{0;2} và \(m^2-6m+9<5\)

=>m∈{0;2} và \(\left(m-3\right)^2<5\)

=>m=2

Ta có : \(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x\)

           \(y'=0\Leftrightarrow4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Leftrightarrow x\left[x^2-\left(m-1\right)\right]=0\)

Trường hợp 1 : nếu \(m-1\le0\Leftrightarrow m\le1\), hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(0;+\infty\right)\), vậy \(m\le1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 2 : nếu \(m-1>0\Leftrightarrow m>1\), hàm số đồng biến trên khoảng \(\left(-\sqrt{m-1};0\right)\) và \(\left(\sqrt{m-1};+\infty\right)\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) thì \(\left(\sqrt{m-1}\le1\Leftrightarrow m\le2\right)\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) \(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;2\right)\)

Ta có: \(y=\frac13x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\)

=>y'=\(\frac13\cdot3x^2-m\cdot2x+\left(m^2-4\right)=x^2-2m\cdot x+m^2-4\)

=>y''=\(2x-2m\)

Để hàm số đạt cực đại tại x=3 thì y'(3)=0 và y''(3)<0

=>\(3^2-2m\cdot3+m^2-4=0\) và 2*3-2m<0

=>\(9-6m+m^2-4\) =0 và 6-2m<0

=>\(m^2-6m+5=0\) và 2m>6

=>(m-5)(m-1)=0 và m>3

=>m=5

Ta có : \(y'=-x^2+2mx+m-2\Rightarrow\Delta'=m^2+m-2\)

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 <=> phương trình y' =0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)  và thỏa mãn :

\(\left|x_1-x_2\right|=4\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0\\\left|x_1-x_2\right|=4\end{cases}\)

                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=16\end{cases}\)

                     \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\4m^2+4\left(m-2\right)=16\end{cases}\)

                    \(\Leftrightarrow m=2\) hoặc \(m=-3\)

Kết luận  \(m=2\) hoặc \(m=-3\) thì hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4