Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nếu \(x>3,y>3,z>3\) thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (không thỏa)
Vậy trong ba số x,y,z tồn tại ít nhất một số nguyên dương không lớn hơn 3
Không mất tính tổng quát, ta giả sử x là số nhỏ nhất. Vậy thì \(x\le y,x\le z\Rightarrow x=1\) , x = 2 hoặc x = 3
Nếu x = 1 thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow y+z=yz\) (bài toán tìm nghiệm nguyên kinh điển bạn tự làm nhé.)
Nếu x = 2 , x = 3 cũng tương tự.
Ơ hơ mới thấy câu này cách đây vài ngày
Em show lại cách làm :")
Giả sử \(x>3;y>3;z>3\)
thì \(VT< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1< 2\left(ktm\right)\)
Vậy trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số nhỏ hơn 3
Mà x,y,z là các số nguyên dương nên
Coi x là số nhỏ hơn 3
\(\left(+\right)x=1\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
\(\Leftrightarrow y+z=yz\)
\(\Leftrightarrow y-yz-1+z=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)=1\)
Dễ tìm được \(y=2;z=2\) \(\left(y=0;z=0\left(ktm\right)\right)\)
\(\left(+\right)x=2\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2y+2z=3yz\)
\(\Leftrightarrow6y-9yz-4+6z=-4\)
\(\Leftrightarrow\left(3y-2\right)\left(3z-2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\left(y,z\right)=\left(1,2\right);\left(2,1\right)\)( một số cặp khác ko thỏa mãn )
Vậy ta có các cặp x,y,z thỏa mãn : \(\left(1,2,2\right);\left(2,2,1\right);\left(2,2,1\right)\)
Ta có 2x + 1 = y2
<=> 2x = (y - 1)(y + 1)
Đặt y - 1 = 2n ( n > 0)
=> 2x = 2n (2n + 2)
Với n = 1 thì y = 3; x = 3
Với n \(\ge2\) thì 2n+1 > 2n-1 \(\ge2\)
Ta có 2x = 2n+1 (2n-1 + 1)
Ta thấy (2n-1 + 1) là 1 số lẻ nên không tồn tại n \(\ge2\)thỏa bài toán
Vậy x = y = 3
Mình không biết đúng không. Bạn kiểm tra lại nha
\(2^x=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)
Mà ( y-1 ) và ( y +1 ) là 2 số chẵn liên tiếp tích là lũy thừa của 2 ( ước nguyên tố 2)
=> chỉ có (y-1)(y+1) = 2.4 thỏa mãn
=> y =3 => x =3
Để cho gọn, đặt {x2=ay2=b
(a+4b+28)2−17a2−17b2=238b+833
\(\Leftrightarrow\)a2+16b2+784+8ab+56a+224b−17a2−17b2=238b+833
\(\Leftrightarrow\)16a2+b2+49−8ab−56a+14b=0
\(\Leftrightarrow\)(4a−b−7)2=0 ⇔4a−b−7=0⇔4x2−y2−7=0
\(\Leftrightarrow\)(2x−y)(2x+y)=7
Do 2x+y>2x−y với mọi x, y nguyên dương và 2x+y>0 với mọi x, y nguyên dương
\(\Rightarrow\){2x−y=12x+y=7 \(\Rightarrow\){x=2y=3
Vậy pt có cặp nghiệm nguyên dương duy nhất (x;y)=(2;3)
#Shinobu Cừu
Bước 1: Nhận xét tính đối xứng
Phương trình đối xứng theo \(x , y\), nên nếu \(\left(\right. x , y \left.\right)\) là nghiệm thì \(\left(\right. y , x \left.\right)\) cũng là nghiệm.
Vì thế, giả sử:
\(x \geq y\)
Bước 2: Xét như phương trình bậc hai theo \(x\)
Viết lại:
\(x^{2} - 3 y x + y^{2} + 1 = 0\)
Theo Viète, nếu \(x\) là một nghiệm thì nghiệm còn lại là:
\(x^{'} = 3 y - x\)
Và:
\(x x^{'} = y^{2} + 1\)
Do \(x , y > 0\), nên \(x^{'} > 0\).
Bước 3: Xét trường hợp \(x = y\)
Thay vào:
\(x^{2} + x^{2} + 1 = 3 x^{2}\) \(2 x^{2} + 1 = 3 x^{2}\) \(x^{2} = 1 \Rightarrow x = 1\)
Vậy có nghiệm:
\(\left(\right. 1 , 1 \left.\right)\)
Bước 4: Xét trường hợp \(x > y\)
Khi đó nghiệm còn lại:
\(x^{'} = 3 y - x\)
là số nguyên dương nhỏ hơn \(y\).
Tiếp tục lặp quá trình này sẽ tạo dãy số nguyên dương giảm dần, điều này chỉ có thể dừng ở trường hợp nhỏ nhất là:
\(y = 1\)
Thay \(y = 1\) vào phương trình:
\(x^{2} + 1 + 1 = 3 x\) \(x^{2} - 3 x + 2 = 0\) \(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x - 2 \left.\right) = 0\) \(x = 1 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; x = 2\)
Suy ra các nghiệm:
\(\left(\right. 1 , 1 \left.\right) , \left(\right. 2 , 1 \left.\right)\)
Do đối xứng nên có thêm:
\(\left(\right. 1 , 2 \left.\right)\)
Kết luận
Tất cả các cặp số nguyên dương \(\left(\right. x , y \left.\right)\) thỏa mãn là:
\(\boxed{\left(\right. 1 , 1 \left.\right) , \&\text{nbsp}; \left(\right. 1 , 2 \left.\right) , \&\text{nbsp}; \left(\right. 2 , 1 \left.\right)}\)