Đặt \(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)

Khi đó điều kiện đb tương ứng

\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow3.\left(x+y\right).\left(x+z\right).\left(x+z\right)=24\)

\(\Rightarrow3.\left(2a+4b\right).\left(2b+4c\right).\left(2c+4a\right)=24\)

\(\Rightarrow\left(a+2b\right).\left(b+2c\right).\left(c+2a\right)=1\)

Do đó ta có đpcm

Chúc bạn học tốt!

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{matrix}\right.\)

Khi đó điều kiện đb tương ứng

\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+z\right)=24\)

\(\Rightarrow3\left(2a+4b\right)\left(2b+4c\right)\left(2c+4a\right)=24\)

\(\Rightarrow\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)=1\)

Do đó ta có \(đpcm\)

Chúc bạn học tốt!

Lời giải:
Đặt \((3a+b-c,3b+c-a,3c+a-b)=(x,y,z)\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+3b+3c=x+y+z\\ a+2b=\frac{x+y}{2}\\ b+2c=\frac{y+z}{2}\\ c+2a=\frac{x+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài toán trở thành:

Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn \((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

CMR: \((x+y)(y+z)(x+z)=8\)

------------------------------------------------

Áp dụng HĐT \(m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)\) ta có:

\((x+y+z)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y)^3-3xy(x+y)+z^3\)

\(\Leftrightarrow (x+y+z)^3=24+(x+y+z)^3-3xy(x+y)-3z(x+y)(x+y+z)\)

\(\Leftrightarrow 3(x+y)[z(x+y+z)+xy]=24\)

\(\Leftrightarrow (x+y)[z(y+z)+x(z+y)]=8\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(z+x)(z+y)=8\) (đpcm)

vai trò a,b,c hoán vị vòng quanh. không mất tính tổng quát. giả sử a là số lớn nhất.

\(a\ge b>0.\)

nên b \(\ge\)a

ta có \(a\ge b\ge a\)

vậy a=b

tuong tự ta có a=c

vậy a=b=c=1

do đó M=a³+b²+c¹⁹⁰=3

Đề True ??

lời giải của 1 bạn trên "Diễn đàn toán học" . mình trích nguyên bài làm của bạn ấy luôn nha

Giả định \(a=x;b=y;c=z\)

Áp dụng AM-GM ta có : 

\(2\left(a^3+a^3+x^3\right)\ge6xa^2\)

\(3\left(b^3+b^3+y^3\right)\ge9yb^2\)

\(4\left(c^3+c^3+z^3\right)\ge12zc^2\)

Cộng 3 bất đẳng thức trên lại theo vế ta được 

\(2P+2x^3+3y^3+4z^3\ge6xa^2+9yb^2+12zc^2\)

Ta tìm x,y,z thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}\frac{6x}{1}=\frac{9y}{2}=\frac{12z}{3}\\x^2+2y^2+3z^2=1\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x=\frac{6}{\sqrt{407}}\\y=\frac{8}{\sqrt{407}}\\z=\frac{9}{\sqrt{407}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{12}{\sqrt{407}}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{12}{\sqrt{407}}\Leftrightarrow a=\frac{6}{\sqrt{407}};b=\frac{8}{\sqrt{407}};c=\frac{9}{\sqrt{407}}\) 

áp dụng BĐT bunhia... ta có 

\(\left(a+2b\right)^2=\left(1.a+\sqrt{2}\sqrt{2}b\right)^2\le\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)\le3.3c^2=9c^2\)

\(\Rightarrow a+2b\le3c\)

áp dụng cosi ta có 

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

áp dụng BDT trên ta có \(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+b+b}=\frac{9}{a+2b}\ge\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c