Hàm có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi:

\(-m\left(m+1\right)< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Đáp án C

TH1: suy ra hàm số có điểm cực đại nhận m=0.

TH2: .

Theo yêu cầu bài toán

.

Vậy là giá trị cần tìm.

Chọn D

Ta có y ' = 3 x 2 - 6 m x + m - 1

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi PT y ' = 0  có hai nghiệm phân biệt

Điều này tương đương

Hai điểm cực trị có hoành độ dương

Vậy các giá trị cần tìm của m là m >1

Câu 1: \(y=mx^3-2m\cdot x^2+\left(m-2\right)\cdot x+1\)

=>y'=\(m\cdot3x^2-2m\cdot2x+\left(m-2\right)=3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\)

Để hàm số không có cực trị thì phương trình y'=0 vô nghiệm

=>\(3m\cdot x^2-4m\cdot x+\left(m-2\right)\) =0(1) vô nghiệm

TH1: m=0

(1) sẽ trở thành: \(3\cdot0\cdot x^2-4\cdot0\cdot x+0-2=0\)

=>-2=0(vô lý)

TH2: m<>0

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\cdot3m\cdot\left(m-2\right)=16m^2-12m^2+24m=4m^2+24m\)

Để (1) vô nghiệm thì Δ<0

=>4m(m+6)<0

=>m(m+6)<0

=>-6<m<0

\(y=x^4-2\left(m^2-m+1\right)x+m-1\)

\(y'=4x^3-4\left(m^2-m+1\right)x\)

\(y'=0\Leftrightarrow4x^3-4\left(m^2-m+1\right)x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm\sqrt{m^2-m+1}\end{cases}}\)

Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là: 

\(2\sqrt{m^2-m+1}=2\sqrt{\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge2\sqrt{\frac{3}{4}}\)

Dấu \(=\)khi \(m-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\).

Đạo hàm  y’ = 3x²+6x+m. Ta có  ∆ ' y ' = 9 - 3 m

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi  ∆ ' y ' = 9 - 3 m > 0 ⇔ m < 3  

Ta có 

Gọi x₁; x₂ là hoành độ của hai điểm cực trị khi đó 

Theo định lí Viet, ta có 

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi y₁.y₂<0

Chọn C.