Ta có \(\sqrt{\left(m+2\right)x+m}\ge\left|x-1\right|\Leftrightarrow\left(m+2\right)x+m\ge x^2-2x+1\)

                                                   \(\Leftrightarrow m\ge\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) (vì \(x\in\left[0;2\right]\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+1}{x+1}\) trên đoạn \(\left[0;2\right]\) ta có

\(f'\left(x\right)=\frac{x^2+2x-5}{\left(x+1\right)^2};f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=-1+\sqrt{6}\)

Lập bảng biến thiên ta được 

\(f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=-1\)

\(f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}-6\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm thì \(m>\) min (0;2] \(f\left(x\right)=f\left(-1+\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6-6}\)

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Câu 1:

\(\Leftrightarrow x^2-4x+5+\sqrt{x^2-4x+5}-5=m\)

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}=a\ge1\)

\(\Rightarrow a^2+a-5=m\) (1)

Xét phương trình: \(x^2-4x+5=a^2\Leftrightarrow x^2-4x+5-a^2=0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4\\x_1x_2=5-a^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Nếu \(5-a^2>0\Rightarrow1\le a< \sqrt{5}\) thì pt có 2 nghiệm dương

Nếu \(5-a^2\le0\) \(\Leftrightarrow a\ge\sqrt{5}\) thì pt có 1 nghiệm dương

Vậy để pt đã cho có đúng 2 nghiệm dương thì: (1) có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(1\le a< \sqrt{5}\) hoặc có 2 nghiệm pb \(a_1>a_2\ge\sqrt{5}\)

Xét \(f\left(a\right)=a^2+a-5\) với \(a\ge1\)

\(f'\left(a\right)=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}< 1\Rightarrow f\left(a\right)\) đồng biến \(\forall a\ge1\) \(\Rightarrow y=m\) chỉ có thể cắt \(y=f\left(a\right)\) tại nhiều nhất 1 điểm có hoành độ \(a\ge1\)

\(f\left(1\right)=-3\) ; \(f\left(\sqrt{5}\right)=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\) Để pt có 2 nghiệm pb đều dương thì \(-3\le m< \sqrt{5}\)

Câu 2:

\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) (1)

Ta có: \(mx^2+\left(m+1\right)x+m+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x^2+x+1\right)\ge-x-1\)

\(\Leftrightarrow m\ge\frac{-x-1}{x^2+x+1}=f\left(x\right)\) (2)

Để mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2) \(\Leftrightarrow\left(2\right)\) đúng với mọi \(x\in\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)\)

\(f'\left(x\right)=\frac{-\left(x^2+x+1\right)+\left(2x+1\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2+x+1\right)^2}=\frac{x^2+2x}{\left(x^2+x+1\right)^2}>0\) \(\forall x\in\left[1;2\right]\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\max\limits_{\left[1;2\right]}f\left(x\right)=f\left(2\right)=-\frac{3}{7}\)

\(\Rightarrow m\ge-\frac{3}{7}\)

Xét 

\(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x^2=m-1\end{cases}}\)
TH1: 

\(m-1\le0\) thì hàm số đồng biến trên R

TH2: \(m-1>0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{m-1}\\x=-\sqrt{m-1}\end{cases}}\)

Khi đó khoảng đồng biến của hàm số là \(\left(-\infty,-\sqrt{m-1}\right)\text{ và }\left(0,\sqrt{m-1}\right)\)

Muốn hàm số đồng biến trên (1,3) thì \(\left(1,3\right)\subset\left(0,\sqrt{m-1}\right)\Leftrightarrow3\le\sqrt{m-1}\Leftrightarrow m\ge10\)

Vậy \(\orbr{\begin{cases}m\le1\\m\ge10\end{cases}}\)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là \(-x+m=\frac{x^2-1}{x}\)

                                                                 \(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\) (*) (vì x = 0 không là nghiệm của (*))

Vì ac < 0 nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác không 

Do đó đồ thị và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt :

\(A\left(x_1;-x_1+m\right);B\left(x_2;-x_2+m\right)\)

\(AB=4\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(-x_2+m+x_1+m\right)^2}=4\)

             \(\Leftrightarrow2\left(x_2-x_1\right)^2=16\)

             \(\Leftrightarrow\left(x_2+x_1\right)^2-4x_2x_1=8\)

Áp ụng định lý Viet ta có : \(\begin{cases}x_2+x_1=\frac{m}{2}\\x_2x_1=-\frac{1}{2}\end{cases}\)

\(AB=4\Leftrightarrow\frac{m^2}{4}+2=8\Leftrightarrow m=\pm2\sqrt{6}\)

Vậy \(m=\pm2\sqrt{6}\) là giá trị cần tìm

tại sao lại ra chỗ \(2\left(x_2-x_1\right)^2=16\) vậy bạn.chỉ hộ mình với

Đáp án A

(*)

Đặt

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm m để phương trình có nghiệm  

Từ đồ thị đã cho, ta suy ra đồ thị của hàm số  

Từ đó ta có kể quả thỏa mãn yêu cầu bài toán