Chọn D.

Cách 1: Giải bài toán như cách giải tự luận.

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x₁; x₂; x₃ lập thành một cấp số cộng.

Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có x₁ + x₂ + x₃ = 3   (1)

 Vì x₁; x₂; x₃ lập thành cấp số cộng nên x₁ + x₃ = 2x₂ (2)

Từ (1) và (2)  suy ra 3x₂ = 3 ⇔ x₂ = 1.

Thay x₂ = 1 vào phương trình đã cho, ta được

1 - 3.1 - 9.1 + m = 0 suy ra m = 11

- Điều kiện đủ:

+ Với m = 11 thì ta có phương trình x³ – 3x² – 9x + 11 = 0 ⇔  

Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên m = 11  là giá trị cần tìm.

Chọn A.

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x₁; x₂; x₃ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có x₁.x₂.x₃ = 64

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x₁x₃ = x₂². Suy ra ta có x₂³ = 64 ⇔ x₂ = 4

Thay x = 4 vào phương trình đã cho ta được: 4³ – 7m.4² + 2(m² + 6m).4 – 64 = 0

⇔ m² – 8m = 0

+ Điều kiện đủ: Với m = 0  thay vào phương  trình đã cho ta được: x³ – 64 = 0 hay x = 4

(nghiệm kép-loại)

Với m = 8 thay vào phương trình đã cho nên ta có phương trình x³ – 56x² + 224x – 64 = 0   

Giải phương trình này, ta được 3  nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.

Vậy m = 8 là giá trị cần tìm.

Chọn C.

Đặt t = x².

Khi đó ta có phương trình: t² – 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 

+ Với điều kiện trên thì  phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁; t₂.

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 2(m + 1) ; t₁.t₂ = 2m + 1.

Suy ra ta có hệ phương trình 

Chỉ có m = 4  thỏa mãn điều kiện .

Do đó 4³ = 64.

Chọn D

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt x 1 , x 2 , x 3  lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có  x 1 . x 2 . x 3 = 8

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có x 1 x 3 = x 2 2 . Suy ra ta có  x 2 3 = 8 ⇔ x 2 = 2.

Với nghiệm x=2, ta có m 2 + 6 m − 7 = 0 ⇔ m = 1 m = − 7  

+ Điều kiện đủ: Với m= 1 hoặc m = -7 thì m 2 + 6 m = 7  nên ta có phương trình:  x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0.

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1,2,4 Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị q=2

Vậy m= 1 và m=  -7  là các giá trị cần tìm.

Đặt t = x2.

Khi đó ta có phương trình: t² – 10t + 2m² + 7m = 0.

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

+ Với điều kiện trên thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁, t₂(t₁ < t₂).

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là :

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 10 ; t₁.t₂ = 2m² + 7m.

⇒ Ta có hệ phương trình:

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó:

BÀi 1:

1: \(x^3-x^2-m^2x+m^2=0\)

=>\(x^2\left(x-1\right)-m^2\left(x-1\right)=0\)

=>\(\left(x-1\right)\left(x^2-m^2\right)=0\)

=>x∈{1;m;-m}

Để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì m∉{0;1;-1}

TH1: Thứ tự lần lượt là 1;m;-m

=>1+(-m)=2m

=>3m=1

=>m=1/3(nhận)

TH2: Thứ tự lần lượt là 1;-m;m

=>m+1=-2m

=>3m=-1

=>m=-1/3(nhận)

TH3: Thứ tự lần lượt là m;1;-m

=>m-m=2*1

=>0=2(sai)

=>Loại

Bài 2:

a: Đặt \(a=x^2\) (Điều kiện: a>=0)

\(-x^4+2mx^2-2m+1=0\) (1)

=>\(x^4-2mx^2+2m-1=0\)

=>\(a^2-2m\cdot a+2m-1=0\) (2)

=>\(a^2-\left(2m-1\right)a-a+2m-1=0\)

=>(a-2m+1)*a-(a-2m+1)=0

=>(a-2m+1)(a-1)=0

=>a=1 hoặc a=2m-1

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm dương phân biệt

=>2m-1<>1 và 2m-1>0

=>2m<>2 và 2m>1

=>m>1/2 và m<>1

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân thì 2m-1=9*1=9 hoặc \(1=9\left(2m-1\right)\)

=>\(\left[\begin{array}{l}2m=10\\ 18m-9=1\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}2m=10\\ 18m=10\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=5\left(nhận\right)\\ m=\frac59\left(nhận\right)\end{array}\right.\)

b:

Đặt \(a=x^2\left(a\ge0\right)\)

\(x^4+2\left(m-2\right)x^2+m^2-5m+5=0\left(3\right)\)

=>\(a^2+2\left(m-2\right)a+m^2-5m+5=0\) (4)

\(\Delta=\left\lbrack2\left(m-2\right)\right\rbrack^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-5m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-4m+4\right)-4\left(m^2-5m+5\right)\)

\(=4\left(m^2-4m+4-m^2+5m-5\right)=4\left(m-1\right)\)

Theo Vi-et, ta có: \(a_1+a_2=-\frac{b}{a}=-2\left(m-2\right);a_1a_2=\frac{c}{a}=m^2-5m+5\)

Để (3) có 4 nghiệm phân biệt thì (4) có hai nghiệm dương phân biệt

=>\(\begin{cases}\Delta>0\\ a_1+a_2>0\\ a_1a_2>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4\left(m-1\right)>0\\ -2\left(m-2\right)>0\\ m^2-5m+5>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}1

Chọn đáp án D

Phương pháp

Cho ba số a, b, c lập thành CSN thì ta có: b 2 = a c .

Cách giải

Ta có:  ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - m ) = 0

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

+) Giả sử 1; 3; m lập thành 1 CSN tăng

+) Giả sử m; 1; 3 lập thành 1 CSN tăng

+) Giả sử 1; m; 3 lập thành 1 CSN tăng

Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn

Chọn C.

Đặt t = x².

Khi đó ta có phương trình: t² – 10t + 2m² + 7m = 0.

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt

+ Với điều kiện trên thì  phương trình(*) có hai nghiệm dương phân biệt là t₁, t₂(t₁ < t₂).

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là 

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi

Theo định lý Vi-ét ta có: t₁ + t₂ = 10 ; t₁.t₂ = 2m² + 7m.

Suy ra ta có hệ phương trình 

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.

Do đó .