Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

4.

Để hàm trùng phương \(y=ax^4+bx^2+c\) có 2 cực tiểu và 1 cực đại

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\b< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\2-m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>2\)

3.

Để hàm trùng phương có 3 cực trị thì \(ab< 0\Leftrightarrow m>1\)

Khi đó:

\(y'=4x^3-4\left(m-1\right)x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\sqrt{m-1}\\x=\sqrt{m-1}\end{matrix}\right.\)

Gọi 3 điểm có hoành độ nói trên lần lượt là A; B; C \(\Rightarrow\) tam giác ABC cân tại A

\(A\left(0;2\right)\) ; \(B\left(-\sqrt{m-1};-m^2+2m+1\right)\) ; \(C\left(\sqrt{m-1};-m^2+2m+1\right)\)

Gọi H là trung điểm BC

\(y_H=\frac{y_B+y_C}{2}=-m^2+2m+1\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\left|y_A-y_H\right|.\left|x_B-x_C\right|\)

\(=\left(m-1\right)^2\sqrt{m-1}< 4\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^5< 32\Rightarrow m-1< 2\)

\(\Rightarrow m< 3\)

Vậy \(1< m< 3\)

Câu 2:

$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$

Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$

Hai điểm cực trị cùng dương khi:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$

Đáp án C.

Câu 2:

Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:

$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$

Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$

$\Leftrightarrow m^2-4< 0$

$\Leftrightarrow -2< m< 2$

Đáp án A.

\(y'=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m\)

ta có y/y'=\(\left(3m-1\right)x+m^3+m^2+m\)

suy ra y= \(\left(3m-1\right)x+m^3+m^2+m\)là pt của dường thẳng đi qua A và B

de-ta \(=9\left(m+1\right)^2-36m\)

y' có 2 \(n_o\)phân biệt khi m#1

hai hoành độ của hai điểm cực trị là :

\(X=\dfrac{-b\left(+,-\right)\sqrt{deta}}{a}=\)

\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m+3}{2}\\\dfrac{3m-1}{2}\end{matrix}\right.\)<=>y=\(\left[{}\begin{matrix}2m^3+5m^2+10m+3\\2m^3+11m^2+4m+1\end{matrix}\right.\)(tìm y bằng cách thế x vào pt đường thẳng )

khoảng cách giữa hai điểm AB =\(\sqrt{2}\)

ta có pt : \(2=\left(\dfrac{m+3}{2}-\dfrac{3m-1}{2}\right)^2+\left(2m^3+5m^2+10m-3-\left(2m^3+11m^2-4m+1\right)\right)^2\)

lại sai chỗ nào rồi 0 ra nghiệm , cậu tính lại thử , cách giả là như vậy

\(y'=4x^3-4\left(m^2-m+1\right)x\)

\(=4x\left(x^2-\left(m^2-m+1\right)\right)\)

có 1 n0 x=0

2 nghiệm còn lại là : \(\left(+,-\right)\sqrt{m^2-m+1}\) (thỏa với mọi m)

ta thấy 0 ở giữa hai nghiệm và hệ số a cùa y' =4(+)

theo bảng biến thiên ta thấy (cái bảng vẽ mệt quá) : \(-\sqrt{m^2-m+1}và+\sqrt{m^2-m+1}\)

là hai điểm cực tiểu , và ta thấy nó dối xứng với nhau qua trục tung nên khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất khi \(\sqrt{m^2-m+1}\)nhỏ nhất khi m=0

vậy để có 1 điểm cực đại và hai điểm cực tiểu thì m thỏa mãng với mọi , và để có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất khi m = 0

vậy m =0 thỏa yêu cầu

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m<2. Tọa độ các điểm cực trị là :

\(A\left(0;m^2-5m+5\right);B\left(\sqrt{2-m};1-m\right);C\left(-\sqrt{2-m};1-m\right)\)

5.

\(y'=4x^3-8x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(y\left(0\right)=-2\) ; \(y\left(\sqrt{2}\right)=-6\) ; \(y\left(\sqrt{3}\right)=-5\)

\(\Rightarrow M=-2\)

3.

\(y'=\frac{x^2-2x-3}{\left(x-1\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(l\right)\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(y\left(2\right)=7\) ; \(y\left(3\right)=6\) ; \(y\left(4\right)=\frac{19}{3}\)

\(\Rightarrow M=7\)

4.

\(y'=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

\(y''=12x^2-4\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y''\left(0\right)< 0\\y''\left(1\right)>0\\y''\left(-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Hàm đạt cực tiểu tại \(x=\pm1\)

\(y_{CT}=y\left(\pm1\right)=-6\)

Mọi người giải nhanh giúp mình mấy câu này với ạ

Mọi người giúp mình giải mấy câu này với ạ

a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)

Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)

Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm

b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\). 

Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)

Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)

Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)

Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)

                           \(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)

                \(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)          \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)

Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)

Chọn B

Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)

Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :

\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)

Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)

                                                                              \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)

Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)