Đặt n^2+4n+2013 =a^2 ( a thuộc N*) => n^2+4n+4+2009=a^2 => (n+2)^2 +2009=a^2 => 2009= a^2-(n+2)^2 = (a-n-2)(a+n+2) mà a, n thuộc N, N* => a-n-2<a+n+2

(a-n-2)(a+n+2)=1.2009=7.287= 41.49

Bạn tự giải các trường hợp trên tìm được n=1002;138;2

(+) a-n-2=1;a+n+2=2009

=> a+n+2-a+n+2=2009-1

=> 2n+4= 2008 => n= 1002 

Giải tương tự các trường hợp trên 

\(n^2+4n+2013=a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-\left(n+2\right)^2=2009\)

\(\Leftrightarrow\left(a-n-2\right)\left(a+n+2\right)=41.7.7\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé

Đặt P = n⁴ + n³ + n² + n + 1 

Với n = 1 => A = 3 => loại

Với n \(\ge\)2 ta có: 

(2n² + n - 1) < 4A \(\le\)(2n² + n)² 

=> 4A = (2n² + n)² 

Vậy: n = 2 thỏa mãn đề bài

*P/s: Mik ko chắc*

Đáp án sai mà mn

Thay n=2 ta có

\(n^4+n^3+n^2+n+1\)\(=31\): ko là số chính phương

Gải sử \(n^2-4n+9\)là số chính phương , khi đó

\(n^2-4n+9=k^2\)

\(=>n^2-4n+4+5=k^2=>\left(n-2\right)^2+5=k^2\)

=>\(\left(n-2\right)^2-k^2=-5\)

-=>\(\left(n-2-k\right)\left(n-2+k\right)=-5\)

sai sai chỗ nào nhỉ

dạ cái kia là -9 mik viết sai ạ

Đặt \(n^2+18n+2020=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n^2+18n+81\right)+1939=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+9\right)^2+1939=a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+n+9\right)\left(a-n-9\right)=1939=7\cdot277\)( e dùng casio ạ )

\(TH1:\hept{\begin{cases}a+n+9=7\\a-n-9=277\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+n=-2\\a-n=286\end{cases}}\Leftrightarrow2n=-288\Leftrightarrow n=-144\left(KTM\right)\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}a+n+9=277\\a-n-9=7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+n=268\\a-n=16\end{cases}}\Leftrightarrow2n=252\Leftrightarrow n=126\left(TM\right)\)

Vậy \(n=126\)

\(A=n^2+n+6\)là số chính phương thì \(4A=4n^2+4n+24\)cũng là số chính phương. Giả sử 4A = p² (p thuộc N)

\(\Rightarrow4n^2+4n+1+23=p^2\Rightarrow\left(2n+1\right)^2+23=p^2\Rightarrow p^2-\left(2n+1\right)^2=23\)

\(\Rightarrow\left(p+2n+1\right)\left(p-2n-1\right)=23\times1\)(2)

Với n ; p là số tự nhiên thì p+2n+1 là số lớn; p-2n-1 là số bé. Do đó:

(2) => \(\hept{\begin{cases}p+2n+1=23\\p-\left(2n+1\right)=1\end{cases}\Rightarrow2n+1=11\Rightarrow}n=5\)

Vậy với n = 5 thì A = n² + n + 6 là số chính phương.