TH1: m<0 hoặc n<0

Nếu m<0

=>\(2^{m}\) ∉Z

=>\(2^{m}\cdot5\) ∉Z

=>\(2^{m}\cdot5+1\) ∉Z

mà \(3^{n}\) sẽ là số nguyên(nếu n>=0) hoặc là phân số(nếu n<0)

nên Loại

Nếu n<0

=>\(3^{n}<1\)

mà nếu m>=0 thì \(1+5\cdot2^{m}\ge1+5>1\)

nên Loại

Do đó: m>=0; n>=0

TH2: m=0

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^0=1+5=6\)

=>\(3^{n}=6\)

=>n∈∅

TH3: m=1

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^1=1+10=11\)

=>\(3^{n}=11\)

=>n∈∅

TH4: m=2

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^2=1+20=21\)

=>\(3^{n}=21\)

=>n∈∅

TH5: m=3

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^3=1+40=41\)

=>\(3^{n}=41\)

=>n∈∅

TH6: m=4

\(1+5\cdot2^{m}=1+5\cdot2^4=1+80=81\)

=>\(3^{n}=81\)

=>n=4(nhận)

TH7: m>=5

=>\(1+5\cdot2^{m}>1+5\cdot32=161\)

=>n>=5

m>=5

=>\(2^{m}\) ⋮8

=>\(5\cdot2^{m}\) ⋮8

=>\(5\cdot2^{m}+1\) chia 8 dư 1

=>\(3^{n}\) chia 8 dư 1

mà \(3^{n}\) chia 8 dư 1 khi n là số chẵn

nên đặt n=2k(với k>=3)

Phương trình ban đầu sẽ trở thành:

\(5 \cdot 2^m = 3^{2k} - 1 = (3^k - 1)(3^k + 1)\)

mà \(ƯCLN\left(3^{k}-1;3^{k}+1\right)=2\)

nên ước chỉ chứa các thừa số nguyên tố là 2 và 5

mà \(3^{k}-1;3^{k}+1\) không thể cùng chia hết cho 5

nên ta sẽ có 2 trường hợp

TH1: 5 là ước của \(3^{k}-1\)

=>\(3^{k}-1=5\cdot2^{a};3^{k}+1=2^{b}\) , với a+b=m

\(3^k + 1 = 2^b\)

k>=3

=>3^k+1 chia 8 dư 4(nếu k lẻ) và \(3^{k}+1\) chia 8 dư 2(k chẵn)

=>\(3^{k}+1\) không thể là lũy thừa của 2 lớn hơn 4

=>Loại

TH2: 5 là ước của \(3^{k}+1\)

=>\(3^{k}-1=2^{a};3^{k}+1=5\cdot2^{b}\) , với a+b=m

\(3^{k}-1=2^{a}\)

Nếu k=1 thì \(2^{a}=3^1-1=3-1=2\)

=>a=1

=>\(3^{k}-1=2^1=2\)

=>\(3^{k}+1=4\)

=>\(5\cdot2^{b}=4\)

=>\(2^{b}=\frac45\)

=>b∈∅

Nếu k=2 thì \(3^2-1=8=2^3\)

=>a=3

k=2

=>n=2k=4

\(3^{k}+1=5\cdot2^{b}\)

=>\(5\cdot2^{b}=3^2+1=10\)

=>\(2^{b}=2\)

=>b=1

a+b=4

=>m=a+b=4

Nếu k>=3 thì \(3^{k}-1=2^{a}\)

=>\(3^{k}\) chia 4 dư 1

=>k chẵn

Đặt k=2p(Với p>=2)

Ta sẽ có: \(3^{2p}-1=(3^{p}-1)(3^{p}+1)=2^{a}\)

=>\(3^{p}-1;3^{p}+1\) đều phải là lũy thừa của 2

=>\(3^{p}-1=2;3^{p}+1=4\)

=>\(3^{p}=3\)

=>p=1

=>k=2(loại vì k>=3)

Do đó: Với m>=5 thì không tồn tại thêm nghiệm n...