736

Bản chất x là nghiệm của hệ pt

\(\left(I\right)\left\{\begin{matrix}x+56=k^2\left(1\right)\\x+113=t^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t^2-k^2=57=3.19\)

\(\left[\begin{matrix}!2t!=1+57\\!2t!=3+19\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}!t!=29\\!t!=11\end{matrix}\right.\)

\(\left[\begin{matrix}x_{1,2}=t^2_{1,2}-113=29^2-113\\x_{3,4}=t_{3,4}^2-113=11^2-113\end{matrix}\right.\) về logic ứng với GT của t ta có gt của x vậy có 4 nghiệm x là (x_1,2,3,4)

\(\Rightarrow\Sigma x_{1,2,3,4}=2.\left(29^2+11^2\right)-4.113\)

Đề bài => hai hướng (x₁ trùng với x_{2) &} x₃ trùng với x_4. hơi khó khăn cắt nghĩa.

Theo mình thì : đáp số là: \(\Sigma x=29^2+11^2-2.113\) loại nghiệm trùng đi

Có: \(4x^2-3xy-y^2-p\left(3x+2y\right)=2p^2\Leftrightarrow\left(4x+y\right)\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)=2p^2\)\(\Leftrightarrow\left[\left(3x+2y\right)+\left(x-y\right)\right]\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)=2p^2\)\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(x-y\right)-p\left(3x+2y\right)+\left(x-y\right)^2-p^2=p^2\)\(\Leftrightarrow\left(3x+2y\right)\left(x-y-p\right)+\left(x-y-p\right)\left(x-y+p\right)=p^2\)\(\Leftrightarrow\left(x-y-p\right)\left(4x+y+p\right)=p^2=1.p^2\)

Do \(4x+y+p>x-y-p\)nên \(\hept{\begin{cases}x-y-p=1\left(1\right)\\4x+y+p=p^2\left(2\right)\end{cases}}\)(Do p là số nguyên tố)

Lấy (1) + (2), ta được: \(5x=p^2+1\Rightarrow5x-1=p^2\)(là số chính phương, đpcm)

x^2016 chia hết cho p 

suy ra x chia hết cho p (x^2016 đồng dư với x)

y^2017 chia hết cho p 

suy ra y chia hết cho p(y^2017 đồng dư với y)

suy ra x+y chia hết cho p 

do p>1 nên 1+x+y ko chia hết cho p