\(A=\frac{x^2}{y^2}+\frac{4y^2}{x^2}-\frac{x}{y}-\frac{2y}{x}+1\)

Đặt \(t = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\)

=>\(t^2 = \left(\frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{2y}{x} + \frac{4y^2}{x^2} = \frac{x^2}{y^2} + \frac{4y^2}{x^2} + 4\)

=>\(\frac{x^2}{y^2} + \frac{4y^2}{x^2} = t^2 - 4\)

Theo BĐT Cauchy, ta có:

\(\vert{}t\vert{} = \left\vert{}\frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\right\vert{} = \left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} + \left\vert{}\frac{2y}{x}\right\vert{} \ge 2\sqrt{\left\vert{}\frac{x}{y}\right\vert{} \cdot \left\vert{}\frac{2y}{x}\right\vert{}} = 2\sqrt{2}\)

=>\(t\ge2\sqrt2;t\le-2\sqrt2\)

\(A = (t^2 - 4) - t + 1 = t^2 - t - 3\)

\(=\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{13}{4}\)

Xét hàm số \(f(t) = t^2 - t - 3\) trên tập [2\(\sqrt2\) ;+∞) và (-∞;\(-2\sqrt2\) ]

TH1: \(t\ge2\sqrt2\)

Vì trục đối xứng của f(t) là: \(t=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-1\right)}{2\cdot1}=\frac12<2\sqrt2\)

nên f(t) đồng biến trên khoảng [2\(\sqrt2\) ;+∞)

=>\(f(t)\ge f(2\sqrt{2})=(2\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}-3=8-2\sqrt{2}-3=5-2\sqrt{2}\)

TH2: \(t\le-2\sqrt2\)

Trên hàm số (-∞;\(-2\sqrt2\) ] thì f(t) nghịch biến

=>\(f(t)\ge f(-2\sqrt{2})=(-2\sqrt{2})^2-(-2\sqrt{2})-3=8+2\sqrt{2}-3=5+2\sqrt{2}\)

Vì \(5-2\sqrt2<5+2\sqrt2\)

nên A min=\(5-2\sqrt2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(t=2\sqrt2\)

=>\(\frac{x}{y}=\sqrt2\)

=>\(x=y\sqrt2\)

viết đề khó hiểu quá

Điều kiện: $\left\{\begin{matrix} 2y(x+1)\geq 0\\x\geq -3 \\y\geq 1 \\ x^2+x+2y-4\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ y\geq 1\\x^2+x+2y-4\geq 0 \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow 2(x+3y+1)\sqrt{2xy+2y}=6xy+8y^2+6y$

$\Leftrightarrow [(x+3y+1)-\sqrt{2xy+2y}]^2-(x+y+1)^2=0$

$\Leftrightarrow (x+3y+1-\sqrt{2xy+2y}-x-y-1)(x+3y+1-\sqrt{2xy+2y}+x+y+1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2y=\sqrt{2xy+2y} (A)\\ 2x+4y+2=\sqrt{2xy+2y} (B) \end{bmatrix}$

+) iải (A):
(A)<=> $4y^2=2xy+2y$

<=> $\begin{bmatrix} y=0 (loại vì y \geq 1)\\ 2y=x+1 \end{bmatrix}$

thế $2y=x+1$ vào (2) => nhân liên hợp 2 căn được pt: $x-3+\sqrt{x^2+2x-3}=\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}$ => bình phương => rút gọn được pt sau:
$(\sqrt{x^2+2x-3}+x-4)^2=9$ => giải được 2 nghiệm
+) giải (B):

(B) <=> $(\sqrt{2y}-\sqrt{x-1})^2+3(x+2y+1)=0$

Vì $\left\{\begin{matrix} x\geq -1\\ y\geq 1 \end{matrix}\right.$ => pt vô nghiệm

ĐKXĐ: ...

\(2\left(y^3-3y^2+3y-1\right)+y-1=\left(1+2\left(1-x\right)\right)\sqrt{1-x}\)

\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)^3+\left(y-1\right)=2\sqrt{1-x}^3+\sqrt{1-x}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=a\\\sqrt{1-x}=b\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2a^3+a=2b^3+b\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a^2+2ab+2b^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow y-1=\sqrt{1-x}\) (\(y\ge1\))

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=1-x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(y-1\right)^2+1}=5-1-\sqrt{1-x}+\sqrt{x+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(1-x\right)+1}=4-\sqrt{1-x}+\sqrt{x+4}\)

\(\Leftrightarrow...\)

ôi trờiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii