1.2.3.4 = 24 đồng dư với 2 mod 11

=> 1.2.3.4.5 đồng dư với 2.5 = 10 mod 11

=> 1.2.3.4.5.6. đồng dư với 10.6 = 60 ; đồng dư với 5 mod 11

=> 1.2.3.4.5.6.7 đồng dư với 5.7 = 35; đồng dư với 2 mod 11

=> 1.2.3.4.5.6.7.8 đồng dư với 2.8 = 16 ; đồng dư với  5 mod 11

=> 1.2.3.4.5.6.7.8.9  đồng dư với 5.9 = 45 ; đồng dư với 1 mod 11

Vậy tích đã cho chia cho 11 dư 1

Ta có:

$ab=2940,\quad BCNN(a,b)=210$

$ƯCLN(a,b)\cdot BCNN(a,b)=ab$

$ƯCLN(a,b)\cdot210=2940$

$ƯCLN(a,b)=14$

Đặt:

$a=14m,\quad b=14n,\quad ƯCLN(m,n)=1$

Khi đó:

$14mn=210$

$mn=15$

Các cặp $(m,n)$ nguyên dương nguyên tố cùng nhau là:

$(1,15),(3,5),(5,3),(15,1)$

Suy ra:

$(a,b)=(14,210),(42,70),(70,42),(210,14)$

Vậy các cặp cần tìm là:

$(14,210),(42,70),(70,42),(210,14)$

Ta có:

$a$ chia $11$ dư $5$

$\Rightarrow a=11k+5$

Lại có $a$ chia $13$ dư $8$:

$11k+5=13q+8$

$\Rightarrow 11k-3=13q$

$\Rightarrow 11k\equiv3\pmod{13}$

Vì $11\cdot6=66\equiv1\pmod{13}$ nên:

$k\equiv3\cdot6=18\equiv5\pmod{13}$

Suy ra:

$k=5+13t$

Để $a$ có 3 chữ số:

$11k+5\ge100$

$k\ge\dfrac{95}{11}$

Do đó chọn $k=18$.

$a=11\cdot18+5=203$

Kiểm tra:

$203=11\cdot18+5$

$203=13\cdot15+8$

Vậy $a=203$.

1.2.3.4.5.6.7.8 có tận cùng là 0

Suy ra 1.2.3.4.5.6.7.8 +152 có tận cùng là 2

Suy ra dãy trên không là số chính phương ( số tận cùng là 2 không là số chính phương)

Không