Đặt A=|x-2022|+|x-2023|+|x-2024|

TH1: x<2022

=>x-2022<0; x-2023<0; x-2024<0

=>A=-x+2022-x+2023-x+2024=-3x+6069

Vì hàm số A=-3x+6069 là hàm số nghịch biến trên R

nên A nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi x<2022 thì x không có giá trị lớn nhất

=>A không có giá trị nhỏ nhất(1)

TH2: 2022<=x<2023

=>x-2022>=0; x-2023<0; x-2024<0

=>A=x-2022+2023-x+2024-x=-x+2025

Vì hàm số A=-x+2025 là hàm số nghịch biến trên R

nên A nhỏ nhất khi x lớn nhất

Khi 2022<=x<2023 thì x không có giá trị lớn nhất

=>A không có giá trị nhỏ nhất(2)

TH3: 2023<=x<2024

=>x-2022>0; x-2023>=0; x-2024<0

=>A=x-2022+x-2023+2024-x=x-2021

Vì hàm số A=x-2021 là hàm số đồng biến trên R

nên A nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi 2023<=x<2024 thì \(x_{\min}=2023\)

=>A min=2023-2021=2(3)

TH4: x>=2024

=>x-2022>0; x-2023>0; x-2024>=0

=>A=x-2022+x-2023+x-2024=3x-6069

Vì hàm số A=3x-6069 là hàm số đồng biến trên R

nên A nhỏ nhất khi x nhỏ nhất

Khi x>=2024 thì \(x_{\min}=2024\)

=>\(A_{\min}=3\cdot2024-6069=6072-6069=3\) (4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra \(A_{\min}=3\) khi x=2023

Ta có: \(P=\frac{|x-2022|+|x-2023|+|x-2024|+2022}{|x-2022|+|x-2023|+|x-2024|}\)

\(=1+\frac{2022}{|x-2022|+|x-2023|+|x-2024|}=1+\frac{2022}{A}\)

\(A\ge3\forall x\)

=>\(\frac{2022}{A}\le\frac{2022}{3}=674\forall x\)

=>\(1+\frac{2022}{A}\le1+674=675\forall x\)

=>P<=675∀x

Dấu '=' xảy ra khi x=2023

Đặt E(x)=0

\(\Leftrightarrow5x^2+2022=0\)

\(\Leftrightarrow5x^2=-2022\)(Vô lý)

Để x là nghiệm của E(x) thì:

5x²  + 2020= 0

⇔ 5x² = -2022

Mà 5x² > 0 ( Với mọi x )

⇒ E(x) không có nghiệm.

a , | 4x + 2020 | = 0

b , | 2x + 1/4 |  + | -5 | = | -14 |

c , | 2020 - 5x | - | 3 | = - | -8 |

d , | x mũ 2 + 4x | = 0 

e , | x-1 | + 3x = 1 

g , | 2-3x | + 3x = 2

h , | 5x-4 | + 5x = 4 

i , | x - 1/4 | - | 2x + 5 | = 0 

k , | 5x - 7 | - | 8-5x | = 0 

n , | x mũ 3 -

Lời giải:
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$|x-2020|+|x-2024|=|x-2020|+|2024-x|\geq |x-2020+2024-x|=4$

$|x-2022|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)

$\Rightarrow |x-2020|+|x-2024|+|x-2022|\geq 4+0=4$

$\Rightarrow P\geq 4$

Vậy $P_{\min}=4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2020)(2024-x)\geq 0$ và $x-2022=0$

Hay $x=2022$

a) \(A\left(x\right)=0\Leftrightarrow2x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

b) \(A\left(x\right)=0\Leftrightarrow3x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

c) \(A=\left|x-1\right|+\left|x-2019\right|=\left|x-1\right|+\left|2019-x\right|\ge\left|x-1+2019-x\right|=2018\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x-1\ge0\\2019-x\ge0\end{cases}\Rightarrow}1\le x\le2019\)

\(4x^2+4x+2022=4x^2+4x+1+2021=\left(2x+1\right)^2+2021\ge2021\)

dấu "=" xảy ra \(< =>2x+1=0< =>x=\dfrac{-1}{2}\)

Đặt \(-6x^2+3x+3=0\)

\(\Leftrightarrow-6x^2+6x-3x+3=0\)

\(\Leftrightarrow-6x\left(x-1\right)-3\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)