Bài 2:\(A=\frac{n+1}{n-2009}=\frac{n-2009+2010}{n-2009}=\frac{n-2009}{n-2009}+\frac{2010}{n-2009}=1+\frac{2010}{n-2009}\)

Để A có giá trị lớn nhất \(1+\frac{2010}{n-2009}\)cũng có giá trị lớn nhất =>\(\frac{2010}{n-2009}\)cũng có giá trị lớn nhất => \(n-2009\inƯ\left(2010\right)\)

và \(n-2009\in N\left(n\in Z\right)\)và bé nhất (để\(\frac{2010}{n-2009}\)lớn nhất)

=>n - 2009 = 1 =>n = 2010

Thay n = 2010 vào \(1+\frac{2010}{n-2009}\)ta được: \(1+\frac{2010}{2010-2009}=1+2010=2011\)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 2011 khi n=2010

Bài 1:\(A=\frac{5-2n}{n+3}=\frac{9-4+2n}{n+3}=\frac{9}{n+3}-\frac{4+2n}{n+3}=\frac{9}{n+3}-2\)

Để \(A\in N\)thì\(\frac{9}{n+3}-2\in N\Rightarrow\frac{9}{n+3}\in N\Rightarrow n+3\inƯ\left(9\right)\)

Ta có bảng sau:

a. \(\left(\frac{-1}{5}\right)^n=\frac{-1}{125}\)

<=> \(\left(\frac{-1}{5}\right)^n=\left(\frac{-1}{5}\right)^3\)

<=> n = 3

b. \(\left(\frac{-2}{11}\right)^m=\frac{4}{121}\)

<=> \(\left(\frac{-2}{11}\right)^m=\left(\frac{2}{11}\right)^2\)

<=> m = 2

c. 7²ⁿ + 7²ⁿ⁺² = 2450

<=> 7²ⁿ + 7²ⁿ . 7² = 2450

<=> 7²ⁿ.(1+7²)        = 2450

<=> 7²ⁿ                  = 7²

<=> 2n                  = 2

<=> n = 1

\(M=\frac{5n+185+2n+1+n+7}{4n+3}=\frac{8n+6+187}{4n+3}=2+\frac{187}{4n+3}\)

n là số tự nhiên thì (4n+3)>3

Để M là 1 số tự nhiên thì 187 phải chia hết cho (4n+3) hay (4n+3) là ước nguyên dương lơn hơn 3 của 187 là: 11;17;187.

• Nếu 4n+3=11 => n=2
• Nếu 4n+3=17 => n=7/2 - Loại vì không thuộc N
• Nếu 4n+3 = 187 => n=46

Vậy, với n = 2 hoặc n = 46 thì M là số tự nhiên.

\(\frac{3n+2}{2n+1}=\frac{2n+1+n+1}{2n+1}=1+\frac{n+1}{2n+1}\) là số tự nhiên

<=> \(\frac{n+1}{2n+1}\)là số tự nhiên

<=> n = 0

3n+2/2n+1=2n+1+n+1/2n+1=1+(n+1)/(2n+1) là stn

=>n+1/2n+1 là stn

=> n=0

Đặt d là ước nguyên tố của 2n - 1 và 9n + 4

=> 2n - 1 chia hết cho d ; 9n + 4 chia hết cho d

2n - 1 chia hết cho d => 9( 2n - 1 ) chia hết cho d => 18n - 9 chia hết cho d

9n + 4 chia hết cho d => 2( 9n + 4 ) chia hết cho d => 18n + 8 chia hết cho d

=>( 18n + 8 ) - ( 18n - 9 ) chia hết cho d

=>18n + 8 - 18n + 9 chia hết cho d

=>   17 chia hết cho d => d thuộc ước của 17 mà ước của 17 là 1;17

Ta có

\(\frac{4^{n+3}+17.2^{2n}}{9^{n+1}+7.3^{2n}}=\frac{2^{2n+6}+17.2^{2n}}{3^{2n+2}+7.3^{2n}}=\frac{2^{2n}.\left(2^6+17\right)}{3^{2n}.\left(3^2+7\right)}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}.\frac{81}{16}=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}.\frac{3^4}{2^4}=1\Rightarrow\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}=\left(\frac{2}{3}\right)^4\Rightarrow2n=4\Rightarrow n=2\)