để\(\frac{19}{n-1}\)là số nguyên suy ra 19 chia hết cho n-1 suy ra n-1 thuộc ước của 19

suy ra n-1=\(\left\{1;19\right\}\)suy ra n=\(\left\{2;20\right\}\)

vậy n=\(\left\{2;20\right\}\)

để \(\frac{19}{n-1}\) là số nguyên => \(n-1\inƯ\left(19\right)=\left\{-1;1;-19;19\right\}\)

=> \(n\in\left\{0;2;20;-18\right\}\)

mà \(\frac{n}{9}\) là số nguyên nên n= 0 hoặc n= -18

Ta có:

\(\frac{n+5}{n}=\frac{n}{n}+\frac{5}{n}=1+\frac{5}{n}\)

Để \(\frac{n+5}{n}\) có GTN thì \(1+\frac{5}{n}\) phải có GTN

\(\Rightarrow\frac{5}{n}\) phải có GTN

\(\Rightarrow5\) phải chia hết cho n

\(\Rightarrow n\inƯ\left(5\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Mà n là STN nên \(n\in\left\{1;5\right\}\)

Vậy có tất cả 2 STN n để \(\frac{n+5}{n}\) có GTN

Ta có : \(\frac{n+5}{n}=\frac{n}{n}+\frac{5}{n}=1+\frac{5}{n}\)

Để \(1+\frac{5}{n}\in N\Leftrightarrow\frac{5}{n}N\in\)N

=> n thuộc ước của 5 là 1 ; 5

Vậy n = 1 ; 5

Ta chứng minh bằng quy nạp:
- Với n = 1 luôn đúng vì \(\overrightarrow{a}\) có cùng độ dài và hướng với véc tơ \(1.\overrightarrow{a}\) nên \(\overrightarrow{a}=1.\overrightarrow{a}\).
- Giả sử điều phải chứng minh đúng với \(n=k\). Nghĩa là:
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}\). (có \(k\) véc tơ \(\overrightarrow{a}\))
- Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\). Nghĩa là:
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\left(k+1\right)\overrightarrow{a}\).
Thật vậy, ta có tổng k + 1 véc tơ \(\overrightarrow{a}\):
\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+...+\overrightarrow{a}\right)+\overrightarrow{a}\)
\(=k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\) (theo giả thiết quy nạp)
\(=\left(k+1\right)\overrightarrow{a}\) (theo tính chất phân phối với phép cộng các số).
Vậy \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+........+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\left(k+1\right)\overrightarrow{a}\).
Suy ra điều phải chứng minh đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lý quy nạp toán học điều trên đúng với n.

các bn nhanh giúp mk vs , tối 6h40 mk đi học thêm rùi !

\(a^{n+1}-\left(a=1\right)^n=2001\left(n\in N\right)\)

\(\Rightarrow a^{n-1}-1^n=2001\)

\(\Rightarrow a^{n-1}-1=2001\)

\(\Rightarrow a^{n-1}=2001+1\)

\(\Rightarrow a^{n-1}=2002\)

Mk chỉ biết giải TH:n dương và chỉ giải đc thế thôi 

Chúc bn học tốt

Có và ko

có và ko

\(\Sigma\frac{b+1}{8-\sqrt{a}}\le\Sigma\frac{2\left(b+1\right)}{15-a}=\Sigma\frac{2\left(a+2b+c\right)}{4a+5b+5c}\)(AM-gm)

Đặt \(\left\{\begin{matrix}x=4a+5b+5c\\y=4b+5a+5c\\z=4c+5a+5b\end{matrix}\right.\)suy ra...

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\geq b\geq c\). Khi đó, hiển nhiên \(\frac{1}{1-\sqrt{a}}\geq \frac{1}{1-\sqrt{b}}\geq\frac{1}{1-\sqrt{c}}\)

Áp dụng BĐT Chebyshev cho hai bộ số trên:

\(3\text{VT}\leq (a+1+b+1+c+1)\left ( \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}} \right )=6\left ( \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}} \right )(1)\)

Giờ ta chỉ cần CM \(A= \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}}\leq \frac{3}{7}\)

Dùng hệ số bất định thôi, ta sẽ CM \(\frac{1}{1-\sqrt{a}}\leq \frac{1}{7}+\frac{1}{98}(a-1)\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^2(6-\sqrt{a})\geq 0\). BĐT này luôn đúng với mọi \(0< a<3\)

Tương tự với các phân thức còn lại \(\Rightarrow \frac{1}{1-\sqrt{a}}+\frac{1}{1-\sqrt{b}}+\frac{1}{1-\sqrt{c}}\leq \frac{3}{7}+\frac{a+b+c-3}{98}=\frac{3}{7}(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{6}{7}\). Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$

Để A là số tự nhiên thì \(5n-2=3\)

hay n=1