\(H=x^2+xy+y^2-3x-3y\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(xy-x-y+1\right)-3\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-1\right)\left(y-1\right)-3\)

\(=\left[\left(x-1\right)^2+2.\frac{1}{2}.\left(x-1\right)\left(y-1\right)+\frac{1}{4}\left(y-1\right)^2\right]+\frac{3}{4}\left(y-1\right)^2-3\)

\(=\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y-1\right)^2-3\)

Vì \(\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)

\(\Rightarrow H=\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)\right]^2+\frac{3}{4}\left(y-1\right)^2-3\ge-3\forall x;y\) có GTNN là - 3

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left[\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y-1\right)\right]^2=0\\\frac{3}{4}\left(y-1\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy \(H_{min}=-3\) tại \(x=1;y=1\)

\(H=5x^2-x+1\)

\(\Rightarrow H=5\left(x^2-\dfrac{1}{5}x\right)+1\)

\(\Rightarrow H=5\left(x^2-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{100}\right)+1\)

\(\Rightarrow H=5\left(x^2-\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{100}\right)+1-\dfrac{1}{20}\)

\(\Rightarrow H=5\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^2+\dfrac{19}{20}\ge\dfrac{19}{20}\left(5\left(x-\dfrac{1}{10}\right)^2\ge0,\forall x\right)\)

\(\Rightarrow Min\left(H\right)=\dfrac{19}{20}\left(tạix=\dfrac{1}{10}\right)\)

Ta có x²-x+1=x²-x+1/4+3/4=(x-1/2)²+3/4

Lại có (x-1/2)²≥0 với ∀ x =>(x-1/2)²+3/4≥3/4

Ta có x²-2x+1=(x-1)²≥0 với ∀ x

Vì (x-1)² là mẫu số nên (x-1)² ≠0

Ta có H đạt GTNN <=> (x-1/2)²+3/4 đạt GTNN và (x-1)² đạt GTLN

Ta có (x-1/2)²+3/4≥3/4. Dấu ''='' xảy ra <=>(x-1/2)²=0

                                                              <=>x-1/2=0 <=>x=1/2

Thay vào, ta có H=3/4/1/4=3/16

Vậy Min H=3/16 tại x=1/2

\(H=\dfrac{x^2-x+1}{x^2-2x+1}=\dfrac{4x^2-4x+4}{4\left(x^2-2x+1\right)}=\dfrac{3\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2x+1}{4\left(x^2-2x+1\right)}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{\left(x+1\right)^2}{4\left(x-1\right)^2}\ge\dfrac{3}{4}\)

\(H_{min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(x=-1\)

Đặt h(x) = x⁴ + a.x³ + b.x² + c.x + d

h(1)  = 1 => 1 + a + b + c + d = 2

Tương tự với h(2), h(4),... ta được 4 phương trình bậc một 4 ẩn, dễ dàng giải ra kết quả.

xét g(x)=x²+1 có g(1)=2; g(2)=5; g(4)=17; g(-3)=10

ta có f(x)=h(x)-g(x)thì f(x) bậc 4 của hệ số x⁴ là 1 và f(1)=f(2)=f(4)=f(-3)

=> f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x+3)

=> f(x)=(x²-3x+2)(x²-x-12)=x⁴-4x³-7x²+34x-24

=> h(x)=x⁴-4x³-6x²+34x-25

a)Đặt \(A=x^2+x+1\)

         \(A=x^2+2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

           \(A=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

                      Dấu = xảy ra khi \(x+\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Vậy Min A =3/4 khi x=-1/2

b)Đặt \(B=2+x-x^2\)

        \(B=-\left(x^2-x-2\right)\)

        \(B=-\left(x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}-\frac{9}{4}\right)\)

        \(B=\frac{9}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{9}{4}\)

                        Dấu = xảy ra khi \(x-\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

vậy Max B = 9/4 khi x=1/2

c)\(h\left(h+1\right)\left(h+2\right)\left(h+3\right)\)

\(=\left(h^2+3h\right)\left(h^2+3h+2\right)\)

\(=t\left(t+2\right)\left(vi`...h^2+3h=t\right)\)

\(=t^2+2t=t^2+2t+1-1\)

\(=\left(t+1\right)^2-1=\left(h^2+3h\right)^2-1\ge1\)

Xảy ra khi \(h^2+3h=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}h=0\\h=-3\end{cases}}\)

Ta có h(h+1)(h+2)(h+3)=h(h+3)(h+2)(h+1)=(\(h^2+3h\))(\(h^2+3h+2\))

Đặt \(h^2+3h=x\) ta được:

A=x(x+2)=\(x^2+2x=x^{^{ }2}+2x+1-1=\left(x+1\right)^2-1\ge-1\)

Vậy GTNN của A là -1

Ta có h(h+1)(h+2)(h+3)

=h(h+3)(h+2)(h+1)

=\(\left(h^2+3h\right)\left(h^2+3h+2\right)\)

Đặt

\(a^2+b^2>=2ab;b^2+c^2>=2bc;a^2+c^2>=2ac\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)>=2\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac\)

dấu= xảy ra khi a=b=c
\(a\left(a-b\right)+b\left(b-c\right)+c\left(c-a\right)=a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca=0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Rightarrow a=b=c\)(chứng minh trện)

\(H=a^3+b^3+c^3-3abc+3ab-3c+5=a^3+a^3+a^3-3aaa+3aa-3a+5\)

\(=3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3a^2-3a+5=3\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{17}{4}\)

\(=3\left(a^2-2\cdot\frac{1}{2}a+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)+\frac{17}{4}=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{17}{4}>=\frac{17}{4}\)

dấu = xảy ra khi \(3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow a-\frac{1}{2}=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)

vậy min H là \(\frac{17}{4}\)khi \(a=\frac{1}{2}\)

Tìm min:

$F=3x^2+x-2=3(x^2+\frac{x}{3})-2$

$=3[x^2+\frac{x}{3}+(\frac{1}{6})^2]-\frac{25}{12}$

$=3(x+\frac{1}{6})^2-\frac{25}{12}\geq \frac{-25}{12}$

Vậy $F_{\min}=\frac{-25}{12}$. Giá trị này đạt tại $x+\frac{1}{6}=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{6}$

Tìm min

$G=4x^2+2x-1=(2x)^2+2.2x.\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}$

$=(2x+\frac{1}{2})^2-\frac{5}{4}\geq 0-\frac{5}{4}=\frac{-5}{4}$ (do $(2x+\frac{1}{2})^2\geq 0$ với mọi $x$)

Vậy $G_{\min}=\frac{-5}{4}$. Giá trị này đạt tại $2x+\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-1}{4}$