\(\Leftrightarrow\dfrac{m}{2}\left(1-cos4x\right)-\dfrac{3}{2}sin4x+\dfrac{1+cos4x}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)cos4x-3sin4x=3-m\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất, pt đã cho có nghiệm khi:

\(\left(1-m\right)^2+\left(-3\right)^2\ge\left(3-m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4m+1\ge0\Leftrightarrow m\ge-\dfrac{1}{4}\)

Sửa đề: Trên đoạn [-pi/4;pi/4]

x∈[-pi/4;pi/4]

=>cosx>0

Đặt t=tan x

x∈[-pi/4;pi/4]

=>t∈[-1;1]

\(\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x = 1 + t^2\)

\(2\sin^2x-\sin x\cos x-m\cos^2x=1\quad\)

=>\(\frac{2\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{m\cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}\)

=>\(2t^2 - t - m = 1 + t^2\)

\(\Leftrightarrow t^2 - t - 1 = m\)

Xét hàm số \(f(t) = t^2 - t - 1\) trên đoạn t∈[-1;1]

Hoành độ đỉnh của f(t) là \(t = -\frac{b}{2a} = \frac{1}{2} \in [-1; 1]\)

\(f(-1) = (-1)^2 - (-1) - 1 = 1\)

\(f(1) = 1^2 - 1 - 1 = -1\)

\(f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}\)

=>Tập giá trị của f(t) trên đoạn [-1;1] là [-5/4;1]

=>Để phương trình ban đầu có nghiệm trên đoạn [-1;1] thì -5/4<=m<=1

mà m nguyên

nên m∈{-1;0;1}

=>Có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn

Ai giúp em với ạ hic :((

C) Pt \(\Rightarrow m\cdot\dfrac{1-cos2x}{2}-\left(m-1\right)sin2x+\left(2m+1\right)\cdot\dfrac{1+cos2x}{2}=0\)

\(\Rightarrow\left(m+1\right)cos2x-\left(2m-2\right)sin2x=-1-3m\)

Pt có nghiệm:  \(\Leftrightarrow\) \(\left(m+1\right)^2+\left[-\left(2m-2\right)\right]^2\ge\left(1+3m\right)^2\)

                        \(\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\le m\le\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\)

Pt vô nghiệm: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\\m< \dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\end{matrix}\right.\)

Để phương trình vô nghiệm thì 5m-3>1 hoặc 5m-3<0

=>m>4/5 hoặc m<3/5

PT vô nghiệm.

+) \(5m-3< 0\)

<=> \(5m< 3\)

<=> \(m< \dfrac{3}{5}\)

+) `5m-3>1`

<=>`5m>4`

<=> `m>4/5`

Vậy, để phương trình `cos^2(2x - (π)/3) = 5m - 3` vô nghiệm, m phải nhỏ hơn `3/5` hoặc m phải lớn hơn `4/5`

Ta có : \(\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=m+1,x\in\left(\dfrac{7\pi}{24};\dfrac{3\pi}{4}\right)\)

Thấy \(x\in\left(\dfrac{7\pi}{24};\dfrac{3\pi}{4}\right)\)

\(\Rightarrow2x+\dfrac{\pi}{6}\in\left(\dfrac{3\pi}{4};\dfrac{5\pi}{3}\right)\)

\(\Rightarrow\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)\in\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow-1< m+1< \dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow-2< m< -\dfrac{1}{2}\)

Vậy ...

\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+\left(2m-3\right)sinx+m-2=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-\left(2m-3\right)sinx-m+1=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x+sinx-2\left(m-1\right)sinx-\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx+1\right)-\left(m-1\right)\left(2sinx+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx+1\right)\left(sinx-m+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=-\dfrac{1}{2}\\sinx=m-1\end{matrix}\right.\)

Pt có đúng 2 nghiệm thuộc khoảng đã cho khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-1\ne-\dfrac{1}{2}\\-1\le m-1\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\0\le m\le2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right).2sin^2x+\left(m+1\right).2sinx.cosx-\left(2m-1\right).2cos^2x=6m+8\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right)\left(1-cos2x\right)+\left(m+1\right)sin2x-\left(2m-1\right)\left(1+cos2x\right)=6m+8\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)sin2x-\left(4m+2\right)cos2x=6m+4\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất, pt có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\left(m+1\right)^2+\left(4m+2\right)^2\ge\left(6m+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow19m^2+30m+11\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le-\frac{11}{19}\)