\(P=a.x^m+b.\frac{1}{x^n}\)

Áp dụng BĐT Co-si cho 2 số dương \(a.x^m\)và \(b.\frac{1}{x^n}\), ta có :

\(a.x^m+b.\frac{1}{x^n}\ge2\sqrt{\frac{ab.x^m}{x^n}}\)

\(\Rightarrow a.x^m+b.\frac{1}{x^n}\ge2\sqrt{ab.x^{m-n}}\)

Vì \(2\sqrt{ab.x^{m-n}}\)Luôn \(\ge0\)\(\Rightarrow\)\(P_{min}=0\Leftrightarrow2\sqrt{ab.x^{m-n}}=0\)

Mà \(a,b>0\Rightarrow x^{m-n}=0\Leftrightarrow m-n=0\Rightarrow m=n\)

Vậy \(P_{min}=0\Leftrightarrow m=n\)

a﴿Ta có: |4,3‐x|\(\ge\)0﴾với mọi x﴿
nên 3,7+|4,3‐x|\(\ge\)3,7 hay A\(\ge\)3,7
Do đó, GTNN của A là 3,7 khi:|4,3‐x|=0
4,3‐x=0
x=4,3‐0
x=4,3
b﴿Ta có: |2x‐1,5|>=0﴾với mọi x﴿
‐|2x‐1,5|<=0
nên 5,5‐|2x‐1,5|<=5,5 hay B<=5,5
Do đó, GTLN của B là 5,5 khi:|2x‐1,5|=0
2x‐1,5=0
2x=0+1,5
2x=1,5
x=1,5/2=15/2=7,5
Vậy GTLN của B là 5,5 khi x=7,5

c)ta có 4x − 3 ≥ 0; 5x + 7,5 ≥ 0 

⇒E ≥ 17,5

=>GTNN của C là 17,5 hi x₁=3/4 hoặc x₂=-1,5

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\ge4\Rightarrow4ab\ge16\Rightarrow ab\ge4\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2=16\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge16\Rightarrow a^2+b^2\ge8\left(2\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)=P\ge8+\dfrac{33}{4}=16\dfrac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=4\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=2\)

Vậy \(A_{Min}=16\dfrac{1}{4}\) khi \(a=b=2\)

A = \(\frac{15-x}{x-4}\) (đk \(x\) ≠ 4)

A ∈ Z khi và chỉ khi:

(15 - \(x\)) ⋮ (\(x\) - 4)

[-(\(x-4\)) + 11] ⋮ (\(x\) - 4)

11 ⋮ (\(x\) - 4)

(\(x\) - 4) ∈ Ư(11) = {-11; - 1; 1; 11}

\(x\) ∈ {-7; 3; 5; 15}

Vậy \(x\) ∈ {-7; 3; 5; 15}

A = \(\frac{15-x}{x-4}\) (đk \(x\) ≠ 4)

A = - 1 + \(\frac{11}{x-4}\)

Với \(x\) ≠ 4 và \(x\in\) Z Ta có các trường hợp:

+ TH1: Nếu \(x\) = 5 thì A = - 1 + \(\frac{11}{5-4}\) = -1 + \(\frac{11}{1}\) = - 1 + 11 = 10

+ TH2: Nếu \(x\) ≤ 3

thì \(x\) - 4 ≤ 3 - 4

\(x\) - 4 ≤ - 1 < 0

11 > 0

Suy ra: \(\frac{11}{x-4}\) < 0

- 1 + \(\frac{11}{x-4}\) < - 1 < 10

Nếu \(x\) ≥ 6

\(x\) - 4 ≥ 6 - 4

\(x\) - 4 ≥ 2

\(\frac{11}{x-4}\) ≤ \(\frac{11}{2}\)

- 1 + \(\frac{11}{x-1}\) ≤ - 1 + \(\frac{11}{2}\) = \(\frac92\) < 10

Từ các lập luận và phân tích trên ta có giá trị lớn nhất của A là 10 khi \(x\) = 5

a ) \(M=a^3+b^3+ab\) biết \(a+b=1\)

\(M=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(M=a^2-ab+b^2+ab\)

\(M=a^2+b^2\)

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2=1\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_M=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\).

b ) \(N=\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-4\right)=\left[\left(x^2+x-2\right)+2\right]\left[\left(x^2+x-2\right)-2\right]=\left(x^2+x-2\right)^2-4\ge-4\)

Vậy \(Min_N=-4\)\(\Leftrightarrow x^2+x-2=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=1\\x=-2\end{array}\right.\).