\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{x^4-a^4}{x^2-a^2}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\left(x^2+a^2\right)=2a^2\)

1: \(\lim\limits_{x\rightarrow4}\dfrac{1-x}{\left(x-4\right)^2}=-\infty\) 

vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow4}1-x=1-4=-3< 0\\\lim\limits_{x\rightarrow4}\left(x-4\right)^2=\left(4-4\right)^2=0\end{matrix}\right.\)

2: \(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}\dfrac{2x-1}{x-3}=+\infty\)

vì \(\left\{{}\begin{matrix}\lim\limits_{x\rightarrow3^+}2x-1=2\cdot3-1=5>0\\\lim\limits_{x\rightarrow3^+}x-3=3-3>0\end{matrix}\right.\) và x-3>0

3: \(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}\dfrac{-2x+1}{x+2}\)

\(=\dfrac{-2\cdot2+1}{2+2}=\dfrac{-3}{4}\)

4: \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{3x-1}{x+1}=\dfrac{3\cdot1-1}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}x-1=2-1=1\)

\(\left(...\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{2x+7}+3\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{2}{\sqrt{2x+7}+3}=\dfrac{1}{3}\)

a) Hàm số f(x) = xác định trên R\{} và ta có x = 4 ∈ (;+∞).

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì và x_n ∈ (;+∞); x_n ≠ 4 và x_n → 4 khi n → +∞.

Ta có lim f(x_n) = lim = = .

Vậy = .

b) Hàm số f(x) = xác định trên R.

Giả sử (x_n) là dãy số bất kì và x_n → +∞ khi n → +∞.

Ta có lim f(x_n) = lim = lim = -5.

Vậy = -5.

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{x^2-4}\)

   \(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{x^2-3x+2}{\left(x-4\right)\left(x+\sqrt{3x-2}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+\sqrt{3x-2}\right)}\)

   \(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\frac{x-1}{\left(x+2\right)\left(x+\sqrt{3x-2}\right)}=\frac{1}{16}\)

\(L=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^x\)

Ta có : \(L=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^x=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{1+x}\right)^x\)

Đặt \(-\frac{1}{1+x}=\frac{1}{t}\Rightarrow\begin{cases}x=-\left(1+t\right)\\x\rightarrow+\infty;t\rightarrow-\infty\end{cases}\)

\(\Rightarrow L=\lim\limits_{t\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-\left(1+t\right)}=\lim\limits_{t\rightarrow-\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^{1+t}}=\lim\limits_{t\rightarrow-\infty}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)\left(1+\frac{1}{t}\right)^t}=\frac{1}{1.e}=\frac{1}{e}\)

a) Ta có (x - 2)² = 0 và (x - 2)² > 0 với ∀x ≠ 2 và (3x - 5) = 3.2 - 5 = 1 > 0.

Do đó = +∞.

b) Ta có (x - 1) và x - 1 < 0 với ∀x < 1 và (2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 <0.

Do đó = +∞.

c) Ta có (x - 1) = 0 và x - 1 > 0 với ∀x > 1 và (2x - 7) = 2.1 - 7 = -5 < 0.

Do đó = -∞.

Giỏi quá ta, chắc là hs cao tuổi nhất ...