a) -( x-y)² - (x-1)² -2 

GTLN = -2

a:

A = 2x - 2xy - 2x^2 - y^2

A = -(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2x + 1) + 1

A = -(x + y)^2 - (x - 1)^2 + 1

Vì (x + y)^2 ≥ 0 ∀ x; y; (x - 1)^2 ≥ 0 ∀ x suy ra:

-(x + y)^2 ≤ 0 và (x - 1)^2 ≤ 0 ∀ x; y

A = -(x + y)^2 - (x - 1)^2 + 1 ≤ 1 ∀ x; y

Dấu bằng xảy ra khi x - 1 = 0 và x + y = 0

x - 1 = 0

x = 1

x + y = 0

y = - x

y = - 1

Vậy Amin = 1 khi x = 1; y = - 1

A = (x^2 + 2x + y^2

\(\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{11}{12}>=\frac{11}{12}\)

=> A đạt GTNN bằng \(\frac{11}{12}\)

dấu bằng xảy ra <=> \(\left(x-\frac{1}{5}\right)^2=0\)

                          <=> \(x=\frac{1}{5}\)

A =  + 11/12

Có ( x- 1/ 5)²   \(\ge\)0 \(\forall\)x thuộc R           ( Kí hiệu \(\forall\) đọc là : với mọi )

\(\Rightarrow\)( x-1/5)² + 11 / 2    \(\ge\)0 + 11/ 2

\(\Rightarrow\)A\(\ge\)11/2

\(\Rightarrow\)A = 11/2 \(\Leftrightarrow\)( x - 1/5 )²  = 0

                         \(\Leftrightarrow\)x  - 1/5    =0

                        \(\Leftrightarrow\)x             = 1/5

Vậy GTNN của A=11/2 \(\Leftrightarrow\)x = 1/5

$\textbf{a)}$

$A=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+12$

$=\big[(x+1)(x+4)\big]\big[(x+2)(x+3)\big]+12$

$=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+12.$

Đặt $t=x^2+5x+5.$

Khi đó $x^2+5x+4=t-1,\qquad x^2+5x+6=t+1.$

Suy ra $A=(t-1)(t+1)+12$

$\phantom{A}=t^2+11$

$\phantom{A}=(x^2+5x+5)^2+11\ge11.$

Dấu ``='' xảy ra khi $x^2+5x+5=0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt5}{2}.$

Vậy $\min A=11.$

$\textbf{b)}$

$M=(x+1)^4+(x+3)^4.$

Đặt $t=x+2.$

Khi đó $M=(t-1)^4+(t+1)^4$

$=2t^4+12t^2+2$

$=2(t^2+3)^2-16$

$\ge2\cdot3^2-16$

$=2.$

Dấu ``='' xảy ra khi $t=0$

$\Leftrightarrow x=-2.$

Vậy $\min M=2$, đạt được khi $x=-2.$

Ta có: 9x^2 - 6x +5= 9x^2 - 6x + 1 +4 = (3x+1)^2 +4 lớn hơn hoặc bằng 4 với mọi x                                                                                                              Suy ra GTNN của biểu thức trên = 4 khi và chỉ khi x= -1/3.                         Vậy x=-1/3 thì GTNN của biểu thức là 4

Ta có: \(\left|x-\frac{1}{2}\right|\ge0\forall x\)

\(\left(y+2\right)^2\ge0\forall y\).

Do đó: \(A=\left|x-\frac{1}{2}\right|+\left(y+2\right)^2+11\)

\(\ge0+0+11=11\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x-\frac{1}{2}\right|=0\\\left(y+2\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-2\end{cases}}\)

Ta có : E = (x - 1) (x + 2)(x + 3)(x + 6)

=> E = [(x - 1)(x + 6)][(x + 2)(x + 3)]

=> E = (x² + 5x - 6)(x² + 5x + 6)

=> E = (x² + 5x)² - 6²

=> E = (x² + 5x)² - 36

Mà : (x² + 5x)² \(\ge0\forall x\)

Nên : (x² + 5x)² - 36 \(\ge-36\forall x\)

Vậy GTNN của biểu thức là 36 tại x² + 5x = 0 => x(x + 5) = 0 => x = 0 ; -5 

\(A=\frac{3}{\left(x+2\right)^2+4};\left(x+2\right)^2\in N\)

\(\Rightarrow A_{max}\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+4=4\)

\(\Rightarrow A_{max}=\frac{3}{4}\)

b, \(B=\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2+1\)

Mặt khác: \(\left(x+1\right)^2;\left(y+3\right)^2\in N\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow B_{min}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2=0\Rightarrow B_{min}=1\)

\(A=\frac{3}{\left(x+2\right)^2+4}\)

Để A max

=>(x+2)^2+4 min

Mà\(\left(x+2\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+2\right)^2+4\ge4\)

Vậy Min = 4 <=>x=-2

Vậy Max A = 3/4 <=> x=-2

\(b,B=\left(x+1\right)^2+\left(y+3\right)^2+1\)

Có \(\left(x+1\right)^2\ge0;\left(y+3\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow B\ge0+0+1=1\)

Vậy MinB = 1<=>x=-1;y=-3

-x²+6x+2=-(x²-6x-2) = -(x-3)²+11

Ta có (x-3)² > 0 với mọi x

=> -(x-3)² < 0 với mọi x

=> -(x-3)²+11 < 11 

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x-3\right)^2=0\Leftrightarrow x=3\)

    -x² + 6x +2 = -x² + 6x -9 +11

    = -( x² -6x +9 ) +11

    = -(x-3)² +11

 Ta nhận thấy: 

    (x-3)² lớn hơn hoặc bằng 0  => -(x-3)² bé hơn hoặc bằng 0  

  Khi đó -(x-3)² + 11 bé hơn hoặc bằng 11.

  Dấu "=" xảy ra khi -(x-3)² =0  <=>  x-3=0  <=>  x=3

   Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức -x² +6x +2 là 11 khi x=3