Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt biểu thức trên là A
-Trường hợp a chia hết b:
Ta có: A nguyên nên a^2 + b^2 chia hết ab
Do a chia hết b => a^2 chia hết ab. Mà a^2 + b^2 chia hết ab => b^2 chia hết ab <=> b chia hết a
=> a=b
=> (a^2+b^2)/ab= 2a^2/a^2=2
-Trường hợp a không chia hết b, hoặc b không chia hết a:
A= (a^2+b^2-2ab)/ab + 2= (a-b)^2/ab + 2
Do A nguyên nên (a-b)^2/ab nguyên <=> a-b chia hết ab
Mà a,b nguyên nên: a<b(a+1) <=> a−b<ab
Mà a-b chia hết ab => a−b≥ab
=> Phương trình vô nghiệm ở trường hợp này.
Vậy A chỉ thỏa mãn giá trị =2 khi và chỉ khi a=b với a,b thuộc N*
Đặt biểu thức trên là A
-Trường hợp a chia hết b:
Ta có: A nguyên nên a^2 + b^2 chia hết ab
Do a chia hết b => a^2 chia hết ab. Mà a^2 + b^2 chia hết ab => b^2 chia hết ab <=> b chia hết a
=> a=b
=> (a^2+b^2)/ab= 2a^2/a^2=2
-Trường hợp a không chia hết b, hoặc b không chia hết a:
A= (a^2+b^2-2ab)/ab + 2= (a-b)^2/ab + 2
Do A nguyên nên (a-b)^2/ab nguyên <=> a-b chia hết ab
Mà a,b nguyên nên: \(a< b\left(a+1\right)\) <=> \(a-b< ab\)
Mà a-b chia hết ab => \(a-b\ge ab\)
=> Phương trình vô nghiệm ở trường hợp này.
Vậy A chỉ thỏa mãn giá trị =2 khi và chỉ khi a=b với a,b thuộc N*
Đặt biểu thức trên là A
-Trường hợp a chia hết b:
Ta có: A nguyên nên a^2 + b^2 chia hết ab
Do a chia hết b => a^2 chia hết ab. Mà a^2 + b^2 chia hết ab => b^2 chia hết ab <=> b chia hết a
=> a=b
=> (a^2+b^2)/ab= 2a^2/a^2=2
-Trường hợp a không chia hết b, hoặc b không chia hết a:
A= (a^2+b^2-2ab)/ab + 2= (a-b)^2/ab + 2
Do A nguyên nên (a-b)^2/ab nguyên <=> a-b chia hết ab
Mà a,b nguyên nên: a<b(a+1) <=> a−b<ab
Mà a-b chia hết ab => a−b≥ab
=> Phương trình vô nghiệm ở trường hợp này.
Vậy A chỉ thỏa mãn giá trị =2 khi và chỉ khi a=b với a,b thuộc N*
Từ đề bài ta suy ra: \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=97\).
Ta có 97 là số nguyên tố và 0 < a - b < a + b nên a - b = 1; a + b = 97.
Do đó \(a=\dfrac{1+97}{2}=49;b=\dfrac{97-1}{2}=48\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=49^2+48^2=4705\).
Theo giả thiết, ta có: \(\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow c^2=ab-ac-bc+c^2\)
\(\Leftrightarrow c^2=a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\Leftrightarrow c^2=\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)(1)
Đặt \(\left(a-c;b-c\right)=d\). Khi đó thì \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮d^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(c^2⋮d^2\Leftrightarrow c⋮d\). Mặt khác \(\hept{\begin{cases}a-c⋮d\\b-c⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a⋮d\\b⋮d\end{cases}}\)
Suy ra được: \(\left(a,b,c\right)=d\)mà a,b,c nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Vậy thì \(\left(a-c;b-c\right)=1\)
Mà \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)=c^2\)nên tồn tại hai số nguyên dương m, n sao cho \(\hept{\begin{cases}a-c=m^2\\b-c=n^2\end{cases}}\Rightarrow c^2=\left(mn\right)^2\Rightarrow c=mn\)(do c, m, n nguyên dương)
Khi đó \(a+b=\left(a-c\right)+\left(b-c\right)+2c\)
\(=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\)(là số chính phương)
Vậy a + b là số chính phương (đpcm)
a)
$3^x-y^3=1$
$\Leftrightarrow 3^x=y^3+1$
$\Leftrightarrow 3^x=(y+1)(y^2-y+1)$
$\gcd(y+1,y^2-y+1)=\gcd(y+1,3)$
Vì $3^x$ chỉ có ước nguyên tố là $3$ nên
$y+1=3^m,\quad y^2-y+1=3^n\qquad (m,n\in\mathbb N,\ m+n=x)$
Ta có $y^2-y+1-(y+1)(y-2)=3$ nên $\gcd(y+1,y^2-y+1)\mid 3$
Suy ra $\gcd(y+1,y^2-y+1)=1$ hoặc $3$.
Nếu $\gcd=1$ thì $y+1=1$
$\Rightarrow y=0$
$\Rightarrow 3^x=1$
$\Rightarrow x=0$.
Nếu $\gcd=3$ thì $3\mid y+1$
$\Rightarrow y\equiv2\pmod3$
$\Rightarrow y^2-y+1\equiv4-2+1\equiv3\equiv0\pmod3$
Lại có $y^2-y+1=(y+1)^2-3y$ nên $9\nmid (y^2-y+1)$
Suy ra $y^2-y+1=3$
$\Rightarrow y^2-y-2=0$
$\Rightarrow y=2$.
Khi đó $3^x=2^3+1=9$ $\Rightarrow x=2$.
Vậy $\boxed{(x,y)=(0,0)\ \text{hoặc}\ (2,2).}$
b/
$a+b+c=0$
$\Rightarrow c=-(a+b)$
$ab+2c^2=ab+2(a+b)^2$
$=2a^2+5ab+2b^2$
$=(2a+b)(a+2b)$
Tương tự $bc+2a^2=(2a+b)(a-b)$
$ca+2b^2=(a+2b)(b-a)$
Suy ra $(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$
$=(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)(b-a)$
$=-(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$ $\le 0$
Do đó $N=1-(ab+2c^2)(bc+2a^2)(ca+2b^2)$$=1+(2a+b)^2(a+2b)^2(a-b)^2$
$\ge 1$$>0$
=> N là số dương.
Không mất tính tổng quát ta giả sử \(x\ge y\)
Ta có:
\(x^2< x^2+8y\le x^2+8x< x^2+8x+16=\left(x+4\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+8y=\left(x+1\right)^2or\left(x+2\right)^2or\left(x+3\right)^2\)
PS: Vì e là CTV nên a chỉ gợi ý thôi nha. Phần còn lại e thử tự nghĩ xem sao nhé. A giải quyết cho e phần khó nhất rồi đấy :)
Anh Alibaba Nguyễn, giải tìm x ntn vậy, em mới tìm được y thôi